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课件网) 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 第八章 立体几何初步 数学 学习目标 ①掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积求法． ②掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式． ③能解决一些棱柱、棱锥、棱台相关的计算问题． 学习重难点 重点： 棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积公式． 难点： 解决棱柱、棱锥、棱台相关的计算及实际应用问题． 课堂导入 【导入新课】 在日常生活中,我们经常会遇到一些与空间几何体相关的问题,比如说粉刷房屋墙壁时,需要计算粉刷面积;建造粮仓时,需要计算粮仓体积.本节课我们就研究一下常见的空间几何体的表面积与体积的求法. 思考1 类比正方体与长方体的表面积，猜想一下多面体的表面积的定义是什么？具体到棱柱、棱锥、棱台，它们的表面积指的是什么？ 结论：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 课堂探究 思考2 初中求解正方体与长方体表面积的方法，在求棱柱、棱锥、棱台的表面积时是否一样适用？ 结论：将正方体或长方体展开，求解展开图的面积（如图），将空间问题转化为平面问题. 同理，求解棱柱、棱锥、棱台的表面积时，只需将其各个面的面积分别求出，然后求和即可. 课堂探究 课堂探究 【典例分析】 例 1 如图所示，四面体P -ABC 的各棱长均为，求它的表面积. 解：由已知，四面体P -ABC 的四个面都是边长为的正三角形，又 ，所以四面体的表面积 跟踪训练1 已知正四棱台上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积. 解析：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，O1O为正四棱台的高，则O1O＝12，连接OE，O1E1，则OE＝ AB＝ ×12＝6 ，O1E1＝ A1B1＝3，过 E1作E1H⊥OE，垂足为 H， 则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3， 在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以E1E＝3 ， 所以S侧＝4× ×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3 ＝108 . 课堂探究 【名师解惑】 多面体的侧面积与表面积求法： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和侧面积是所有侧面的面积之和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. 课堂探究 思考3 以前学过的正方体、长方体的体积公式是什么？ 结论：V正方体= a3 (a为正方体的棱长)， V长方体= abc(a，b，c为长方体的长、宽、高)， 正方体、长方体的体积公式可以统一为S·h. 课堂探究 思考4 正方体、长方体都是棱柱，那么对于一般棱柱，上面的体积公式是否还适用？棱柱的高是什么？ 结论：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. 一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，则棱柱的体积V棱柱 =S·h . 课堂探究 思考5 观察下面图①，一个三棱柱可以分解成三个三棱锥（如图②），这三个三棱锥的体积有什么关系？因此三棱锥的体积与同底等高三棱柱的体积之间什么关系？一般棱锥是否成立？ ① ② 结论：这三个三棱锥体积相等，所以上图中每一个三棱锥的体积都等于原三棱柱体积的 . 这个结论可以对于一般棱锥也是普遍适用的，因此，三棱锥的体积公式为 课堂探究 思考6 回顾一下棱台的定义，想想如何求棱台的体积？ 结论：由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差求棱台的体积，得到棱台的体积公式为 其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高（指两底面之间的距离）. 课堂探究 思考7 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 结论： 课堂探究 【典例分析】 例2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体， ... ...
