4.1.1有理数指数幂 教学设计 【教学目标】 1.理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.在教学过程中，让学生自主探索来加深对n次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 【教学重点】 根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化. 【教学难点】 n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 【教学方法】 讲授法与探究法 【教学手段】 计算机 【核心素养】 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 1.细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个，则1个这样的细胞第一次分裂后变为2个细胞，第二次分裂后就得到4个细胞，第三次分裂后就得到8个细胞… 问题1：第n次分裂后得到多少个细胞？ 预案：得到个细胞。 2.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。 例如： 当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P分别为，，，…… 问题2：当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为多少？ 预案：分别为，，。 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣，为新知做好铺垫． 二、归纳探索，形成概念 1. 次方根 我们在初中学方根、立方根，并且用了、形式的式子来分别表示了它们。那么，一个(实)数有没有四次方根、五次方根…次方根呢？如果有，这些方根该用什么形式的式子来表示呢？ 类似的，若一个(实)数的次方等于，即，就说是的次方根。那么如何表示次方根呢？ 一个(实)数的平方根、立方根的个数以及表示形式是不同的，一个(实)数的n次方根的个数以及表示形式会不会随着n值的不同而不同呢？接下来，我们分n为奇数和n为偶数两种情况来分别讨论n次方根的表示方法。 例如， ，；时，有； 若，则；若，则. （1）当n为奇数时，的n次方根只有一个，即：。 当＞0时，＞0；当＝0时，＝0；当＜0时，＜0. （2）当n为偶数时，的n次方根有两个，它们互为相反数，即： 其中正的n次方根叫作算术根，记作。其中时, 的n次方根不存在。 （3）0的n次方根为0，记作：=0. 2.根式 式子叫作根式，n叫作根指数，叫作被开方数． 一般地，， 问题3：注意中n与a的取值，是否一直成立？你能举出那些例子？ 预案： 由此我们可得到 当n为奇数时，。 当n为偶数时，。 问题4：那么，又能化简成什么呢？一直成立吗？ 预案：，根据定义易知成立。 〖设计意图〗为突破学生对计算结果的疑惑，教师引导学生对n为奇数偶数分别讨论应回归根式的本质。 3.分数指数幂 问题5：表示什么含义（当为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运算都有哪些运算性质？ 答：个相乘。 在这里均为正整数。 实例引入：， 问题6：从以上两个例子你能发现什么结论？ 预案：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成的形式 问题7：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，即如何表示？ 预案： 结论：规定 问题8：正数的负分数指数幂 分析： 如：，。 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 特别地：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 三、掌握证法，适当延展 例 化简下列各式： (1) ； (2) ； (3)； (4)； (5) ． 解(1)； (2)； (3)； ... ...
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