《创新课堂》3.2.1第二课时　双曲线及其标准方程（二） 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(课件网) 第二课时　双曲线及其标准方程（二） 1.能灵活应用双曲线的定义及标准方程解决焦点三角形问题（直观想象、数学运算）. 2.能熟练地求与双曲线有关的轨迹方程（逻辑推理、数学运算）. 3.会解决与双曲线的定义和标准方程有关的实际问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 知识点一　双曲线中的焦点三角形问题 01 知识点二　与双曲线有关的轨迹问题 02 知识点三　000 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 双曲线中的焦点三角形问题 问题　（1）与椭圆一样，双曲线也有焦点三角形，思考一下，它的三边 有哪些关系？ 提示：①｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a. ②｜MF1｜2＋｜MF2｜2－2｜MF1｜｜MF2｜· cos θ＝4c2. （2）在椭圆中有焦点三角形面积公式S＝b2tan ，那么在双曲线中此公式 还适用吗？ 提示：不适用.双曲线中焦点三角形的面积公式为S＝ . 【例1】（1）若F1，F2是双曲线 － ＝1的两个焦点，点P是双曲线上 的一点，且∠F1PF2＝120°，则△F1PF2的面积为（　A　） A. B. C. 8 D. 16 A 解析：法一　由双曲线的定义和余弦定理得，｜PF1｜－｜PF2｜＝ ±6，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜ cos 120°＝ （｜PF1｜－｜PF2｜）2＋3｜PF1｜·｜PF2｜，即100＝36＋3｜PF1｜·｜ PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝ ，则 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜ sin ∠F1PF2＝ × × ＝ . 法二　 ＝ ＝ ＝ . （2）设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上 一点，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则∠F1PF2的大小为（　C　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° C 解析：根据双曲线的定义得｜PF1｜－｜PF2｜＝4，又因为｜PF1｜＝3｜ PF2｜，所以｜PF1｜＝6，｜PF2｜＝2.又因为｜F1F2｜＝2 ，所以在 △F1PF2中结合余弦定理的推论得， cos ∠F1PF2＝ ＝ ，因 为0°＜∠F1PF2＜180°，所以∠F1PF2＝60°.故选C. 变式　若将本例（1）中的“∠F1PF2＝120°”改为“｜PF2｜∶｜PF1｜ ＝2∶5”，则△F1PF2的面积为 . 解析：由｜PF2｜∶｜PF1｜＝2∶5，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，可知｜ PF1｜＝10，｜PF2｜＝4，所以 ＝ ×｜PF2｜ × ＝ ×4× ＝8 . 8 【规律方法】 　在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合｜｜PF1｜－｜ PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1｜·｜PF2｜的联系，求 解｜PF1｜和｜PF2｜的值，△PF1F2的周长与面积等问题. 训练1　（1）已知有相同焦点F1，F2的椭圆 ＋y2＝1（m＞1）和双曲线 －y2＝1（n＞0），P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　B　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上均有可能 解析：因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2 ，｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 ，又 m－1＝n＋1，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝2（m＋n）＝4（m－1）＝｜ F1F2｜2，所以△F1PF2是直角三角形. B （2）已知双曲线C：x2－ ＝1的右焦点为F，P是双曲线C左支上一 点，M（0，2），则△PFM的周长的最小值为 . 解析：设双曲线C的左焦点为F1，则｜PF｜－｜PF1｜＝2a，由题可知a ＝1，c＝2，所以｜PF｜＝2＋｜PF1｜，F1（－2，0），F（2，0），所 以｜MF｜＝2 ，△PFM的周长为｜MF｜＋｜MP｜＋｜PF｜＝2 ＋2＋｜MP｜＋｜PF1｜.当M，P，F1三点共线时，｜MP｜＋｜PF1｜ 取最小值，最小值为｜MF1｜＝2 ，所以△PFM的周长的最小值为2＋ 4 . 2＋4 02 PART 知识点二 与双曲线有关的轨迹问题 【例2】如图，在△ABC中，已知｜AB｜＝4 ，O为线段AB的中点，且 三内角A，B，C满足2 sin A＋ sin C＝2 sin B，试求顶点C的轨迹方程. 解：由题意得A（－2 ，0），B（2 ，0）.由正弦定理，得 sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ （R为△ABC的外接圆半 径）.∵2 sin A＋ sin C＝2 sin B， ∴ ... ...