第三课时 等比数列的综合应用 课标要求 1.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形（数学运算）. 2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题（数学建模）. 3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式（逻辑推理、数学运算）. 知识点一｜灵活设项求解等比数列 【例1】 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 解：法一 设前三个数分别为，a，aq， 则·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6. 因此前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6. 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝. 故所求的四个数为9，6，4，2. 法二 设后三个数为4－d，4，4＋d， 则第1个数为（4－d）2， 由题意知（4－d）2×（4－d）×4＝216， 解得4－d＝6. 所以d＝－2. 故所求得的四个数为9，6，4，2. 【规律方法】 巧设等比数列项的方法 （1）若三个数成等比数列，常设为，a，aq.推广到一般，奇数个数成等比数列，可设为…，，，a，aq，aq2，…； （2）四个符号相同的数成等比数列，常设为，，aq，aq3.推广到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…，，，，aq，aq3，aq5，…； （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 训练1 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是 45 . 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.即整理得解得因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 知识点二｜等比数列的实际应用 【例2】 从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问： （1）第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？ 解：由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第n次操作后容器中酒精的浓度为an，则第1次操作后容器中酒精的浓度为a1＝1－，第n＋1次操作后容器中酒精的浓度为an＋1＝an（1－）， 所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列，所以an＝a1qn－1＝（1－）n， 即第n次操作后容器中酒精的浓度是（1－）n. （2）当a＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于10%？ 解：当a＝2时，由an＝（）n＜，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%. 【规律方法】 等比数列实际应用的求解思路 （1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型； （2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素； （3）针对所求结果作出合理解释. 训练2 某公司的销售额下跌严重，从2025年的7月销售收入128万元，到9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？ 解：设每月平均下降的百分比为x， 则每月的销售收入构成了等比数列{an}， a1＝128，则a2＝a1（1－x）， a3＝a1（1－x）2＝128（1－x）2＝32，解得x＝50%. 设an＝8，an＝128（1－50%＝8，解得n＝5， 所以从2025年的7月算起第5个月，即2025年的11月该公司的销售收入跌至8万元. 提能点｜由等比数列衍生的新数列 问题 （1）若数列{an}是等比数列，那么{2an}是等比数列吗？{an＋2}呢？ 提示：{2an}为等比数列，{an＋2}一般不是等比数列. 证明：设{an}的公比为q，则＝＝q，即{2an}仍然是公比为q的等比数列；又＝，若an不是常数，则该式子不是定值，故{an＋2}一般不是等比数列. （2）若数列{an}是等比数列，那么数列a3，a6，a9，a12，…是等比数列吗？ 提示：是等比数列，因为＝＝＝…＝q3为常数. 【知识梳理】 1.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}，{}，{｜an｜}，{}，{anan＋1}都是等比数 ... ...
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