《创新课堂》3.2.2第一课时　双曲线的简单几何性质 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(课件网) 第一课时　双曲线的简单几何性质 1. 理解双曲线的几何图形及简单几何性质（数学抽象、直观想象）. 2. 理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程（直观想象、数学运算）. 课标要求 　　在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆几何性质的方法来研究双曲线的几何性质. 情境导入 知识点一　双曲线的几何性质 01 知识点二　由双曲线的几何性质求标准方程 02 提能点　双曲线的渐近线和离心率 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 双曲线的几何性质 问题1　（1）类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线 － ＝1（a＞ 0，b＞0）的几何性质； 提示：①范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程 － ＝1可得 ＝1＋ ≥1，于是， ≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R， 所以x≥a或x≤－a，y∈R. ②对称性： － ＝1（a＞0，b＞0）的图象关于x轴、y轴和原点都对 称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心. ③顶点：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点. 顶点是A1（－a，0），A2（a，0），只有两个. ④离心率：e＝ .因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1. （2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的 实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚 半轴长.据此，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制？与矩形对角线y＝ ± x有什么关系？ 提示：双曲线在第一象限部分的方程为y＝ · ， 它与y＝ x的位置关系：曲线在y＝ x的下方. 它与y＝ x的位置的变化趋势：慢慢靠近. 【知识梳理】 双曲线的几何性质 标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0） 图形 标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0） 性 质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） 焦距 ｜F1F2｜＝ 范围 或 ， y∈ 或 ， x∈ 对称性 对称轴： ；对称中心： 2c　 x≤－a　 x≥a　 R　 y≤－a　 y≥a　 R　 坐标轴　 原点　 标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0） 顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a） 轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 实半轴长： ，虚半轴长： 离心率 e＝ ∈ 渐近线 y＝ y＝ A1A2　 2a　 B1B2　 2b　 a　 b　 　 （1，＋∞）　 ± x　 ± x　 　　提醒：（1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的 离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；（2）当双曲线的方程确定后， 其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线对应着无数条双曲线； （3）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可写为x2－y2＝m （m＞0），它的渐近线方程为y＝±x. 【例1】求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、 顶点坐标、离心率、渐近线方程. 解：双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为 － ＝1， 所以焦点在x轴上，a2＝25，b2＝4，因此实半轴长a＝5，虚半轴长b＝ 2，顶点坐标为（－5，0），（5，0）.由c＝ ＝ ，得焦点坐 标为（ ，0），（－ ，0）.离心率e＝ ＝ ，渐近线方程为y＝ ± x. 变式　若将本例中双曲线的方程变为nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0）， 求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐 近线方程. 解：把方程nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0）化为标准方程为 － ＝1 （m＞0，n＞0）， 由此可知，实半轴长a＝ ，虚半轴长b＝ ，c＝ ， 焦点坐标为（ ，0），（－ ，0），离心率e＝ ＝ ＝ ， 顶点坐标为（－ ，0），（ ，0），所以渐近线方程为y＝± x， 即y＝± x. 【规律方法】 　由双曲线的方程研究几何性质 （ ... ...