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课件网) 7.2.2 复数的乘、除运算 第七章 复数 数学 学习目标 4.在探究复数代数形式的乘、除法的过程中感悟数系扩充的必要性. 2.能从实数的除法出发探索复数的除法法则，能用自己的语言解释复数的除法 法则；能进行复数除法的运算，并能用复数除法解决问题. 3.能在复数范围内解简单的实系数一元二次方程，积累复数范围内解方程的经 验，理解复数的根与方程的关系. 1.能类比多项式的乘法探索复数的乘法法则，能用自己的语言解释复数的乘法 法则；会依据复数的乘法法则进行运算；了解一些共轭复数的性质. 学习重难点 重点： 复数代数形式的乘、除法则及运算律及共轭复数的概念. 难点： 复数除法的法则的运用及复数范围内解实系数一元二次方程. 导入新课 一、温故知新 问题1：我们已经学习了哪些复数运算法则及其运算律？是如何研究的？ 1.复数加、减法的运算法则： ①z1＋z2= ②z1－z2= 2.加法运算律：①z1＋z2= ②(z1＋z2)＋z3= 讲授新课 二、类比实数，获得法则 探究1：结合复数系的引入，在保持运算律不变的情况下，该如何探究复数的乘法法则？ 追问1：复数的乘法与多项式的乘法有哪些联系？ 追问2：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ 交换律： 结合律： 分配律： . 把复数a+bi中的实部和虚部看作常数，i看作“变元”复数相当于一个“一次二项式”，复数相乘相当于两个“一次二项式”相乘，令i2=-1后合并同类项后的结果. 追问3：如何证明分配律： ; . 所以 . 讲授新课 讲授新课 例1 计算：(1-2i)(3+4i)(-2+i). 例2 计算：（1）； （2） 追问1：你能发现复数系中的一些乘法公式吗？ ,，所以是一个实数，且 追问2：观察式中的两个复数，可以发现他们互为共轭复数，若共轭复数，则是一个怎样的数？ （1） （2）， （3） 追问3：共轭复数还有哪些性质呢？设 讲授新课 小结： 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等. 讲授新课 探究3：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请探究复数除法的法则. 把满足的复数叫做复数 除以的商，记作或 所以, 所以 即 追问1：这个法则的计算比较复杂，你还有其他方法求吗？ . 讲授新课 讲授新课 小结： 1.两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，将分母实数化，化简结果. 2.常用公式 （1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i. 讲授新课 三、例题分析 例3 计算 （1）（1－2i）÷（2＋i）； （2）. 解：＝＝＝－2＋i. 解：（1－2i）÷（2＋i）＝＝＝＝－i. 例4（1）复数z＝i2 025的模是（ ） A.i B.－1 C.0 D.1 z＝i2 025＝i4×506＋1＝i，所以复数z的模是1.故选D. （2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是___. 1＋i＋i2＋i3＋…＋i100 ＝1＋（i＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100） ＝1＋0＋…＋0＝1. 讲授新课 讲授新课 小结：利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时， 相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 讲授新课 拓展延伸 例5 在复数范围内解下列方程： （1） （2）其中 追问1：你觉得一元二次方程的根可以超过两个吗？ 解：（1）因为,所以的根为. （2）将的二次项系数化为1，得 配方得 ， 由 , 知 . 类似 (1), 可得 所以原方程的根为 . 追 ... ...
