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课件网) 8.6.1直线与直线垂直 第八章 立体几何初步 数学 一、学习目标 （1）理解异面直线夹角的定义，会求异面直线所成角； （2）理解两条直线垂直的定义，并能够根据所给条件证明两条直线互相垂直. 【导入新课】 二、课堂探究 【问题探究1】如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与直线A'D'相对于直线AB的位置相同么？如果不同，如何表示这种差异呢 结论：我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度；类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系. 二、课堂探究 思考1：那么如何定义异面直线所成的角呢？阅读教材，并将下面空白位置补充完整. 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作_____，_____，我们把_____叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线_____. 直线 a 与直线 b 垂直，记作_____. 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为_____. 所以空间两条直线所成角的取值范围是_____. 直线 a'与b' 互相垂直 a⊥b 0° 0°≤ α ≤90° 二、课堂探究 例1 如图所示，已知正方体ABCD-A'B'C'D'. （1）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直 （2）求直线BA'与CC'所成的角的大小. 解析：（1）棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，所在直线分别与直线AA'垂直. （2）因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以BB'//CC'. 因此∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角， 又因为∠A'BB'= 45°，所以直线BA'与CC'所成的角等于45°. 二、课堂探究 【小试牛刀】 例1 如图所示，已知正方体ABCD-A'B'C'D'. （3）求直线BA'与AC所成的角的大小. 解析：（3）如图所示，连接A'C'，BC'，则A'C'//AC， 所以∠BA'C'是直线BA'与AC所成的角， 因为ABCD-A'B'C'D'是正方体， 所以△BA'C'是正三角形，∠BA'C' =60°， 所以直线BA'与AC所成的角为60°. 二、课堂探究 【跟踪训练】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， （1）AC和DD1所成的角是_____； （2）AC和D1C1所成的角是_____； （3）AC和B1D1所成的角是_____； （4）AC和A1B所成的角是_____. （1）90°. （2）45°. （3）90°. （4）60°. 二、课堂探究 【小试牛刀】 例2 如图（1）所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心.求证：AO1⊥BD. 证明：如图（2），连接B1D1，AB1，AD1， 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知B1D1//BD， 所以AO1与B1D1所成的角即为AO1与BD所成的角， 在△AB1D1中，因为AB1=AD1，O1为B1D1中点， 所以AO1⊥B1D1，又B1D1//BD， 所以AO1⊥BD. 二、课堂探究 【跟踪训练】 如图所示，在空间四边形ABCD中，AD =BC = 2，E，F分别是AB，CD的中点，EF= ． 求证：AD⊥BC． 二、课堂探究 【跟踪训练】 证明：如图所示，取BD 的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD =2， 所以EH∥AD，EH =1．同理FH∥BC，FH =1． 所以∠EHF（或其补角）是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF= ，所以EH 2+FH 2=EF 2， 所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 二、课堂探究 【名师解惑】 证明两条异面直线垂直的关键是证明两条异面直线所成角为90°. 二、课堂探究 1. 如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( ). A．直线CC1与直线B1E相交 B．CC1与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1垂直 ACD 三、课堂练习 三、课堂练习 C 2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,①DA1 ... ...
