3．2.4 离散型随机变量的方差 学习目标 (1)会根据离散型随机变量的分布列求方差与标准差．(2)会运用数学期望与方差的计算公式解决实际问题． 课前预习 要点一 方差 设离散型随机变量X的分布列为 由数学期望的公式可知D(X)＝E{[X－E(X)]2}＝_____． 则称D(X)为随机变量X的方差，并称 为X的标准差.通常还用σ2表示方差D(X)，用σ表示标准差. 要点二 几个特殊分布的期望与方差 要点三 几个常用公式 若Y＝aX＋b，a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝_____，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(X＋b)＝D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X) 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．( ) (2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (3)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的．( ) 2．已知随机变量ξ的分布列如下表，则D(ξ)＝( ) A.0.95 B．3.2 C.0.7 D．3.56 3．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( ) A.0.25；0.5 B．0.5；0.75 C.0.5；0.25 D．1；0.75 4．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差σ(X)＝_____． 题型探究·课堂解透———强化创新性 题型1 方差、标准差的概念及性质 例1 已知X的分布列如表： (1)计算X的方差及标准差； (2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 方法归纳 对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 巩固训练1 已知η的分布列为 (1)求η的方差及标准差； (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)． 题型2 几类特殊的分布 例2 已知某运动员投篮命中率P＝0.6. (1)求一次投篮中命中次数X的期望与方差； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的期望与方差． 方法归纳 求几类特殊分布的方差的步骤 巩固训练2 甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为0.25.设随机变量X表示译出密码的人数，求期望，方差和标准差． 题型3 方差的实际应用问题 例3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． 方法归纳 利用期望与方差的意义分析解决实际问题的策略 巩固训练3 有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲： 乙： 试分析两名学生的成绩水平． 3．2.4 离散型随机变量的方差 课前预习 [教材要点] 要点一 (x1－E(x))2p1＋(x2－E(x))2p2＋…＋(xn－E(x))2pn 要点二 p(1－p) np(1－p) 要点三 (1)0 [基础自测] 1．(1)× (2)× (3)× 2．解析：由题意，得E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2， ∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56. 答案：D 3．解析：E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25. 答案：C 4．解析：ξ的标准差σ(X)＝＝. 答案： 题型探究·课堂解透 例1 解析：由分布列的性质，知＋a＝1，故a＝. 所以X的均值E(X)＝(－1)×. (1)X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×， . (2)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. 巩固训练1 解析：(1)∵E(η)＝0×＝16， ∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384， ∴. (2)∵Y＝2 ... ...
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