2．1.2 空间两点间的距离 学习目标 (1)借助特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离． (2)会用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离 课前预习 教 材 要 点 要点 空间两点间的距离 空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，则A、B两点间的距离为|AB|＝_____． 特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|＝_____． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．( ) (2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．( ) (3)将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．( ) 2．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)的距离是( ) A.2 B．2 C．9 D． 3．已知空间直角坐标系O xyz中的点A(1，－2，3)关于yOz平面的对称点为B，则|AB|为( ) A．2 B．4 C．6 D．以上都不对 4．已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是_____． 题型探究 题型1 求空间两点间的距离 例1 如图，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长． 方法归纳 求空间两点间的距离的方法 巩固训练1 已知A(3，2，1)，B(1，0，5)，求线段AB的中点M到原点的距离． 题型2 利用距离公式求空间点的坐标 例2 设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离等于它到点P2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标． 方法归纳 由空间两点之间的距离求点的坐标的方法 巩固训练2 在空间直角坐标系O xyz中，若y轴上点M到两点P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标为( ) A．(0，1，0) B．(0，－1，0) C．(0，0，3) D．(0，0，－3) 题型3 空间两点间距离公式的应用 例3 已知空间直角坐标系O xyz中一点M(2，－1，3)，N是xOy平面内直线l：2x＋y－1＝0上的一个动点，求M，N两点的最短距离． 方法归纳 利用空间两点间距离公式解题的类型 巩固训练3 已知三点A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，则( ) A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是直角三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．三点构不成三角形 2．1.2 空间两点间的距离 课前预习 [教材要点] 要点 [基础自测] 1．(1)× (2)× (3)× 2．解析：|AB|＝. 答案：D 3．解析：空间直角坐标系O－xyz中的点A(1，－2，3)关于yOz平面的对称点为B(－1，－2，3)，所以|AB|＝2. 答案：A 4．解析：设点P(0，0，z)．则由|PA|＝|PB|， 得 ＝，解得z＝6，即点P的坐标是(0，0，6)． 答案：(0，0，6) 题型探究·课堂解透 例1 解析： 以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)， ∴|AD1|＝， |AB1|＝＝5， |AC1|＝. 巩固训练1 解析：依题意，得点M的坐标为，即M(2，1，3)， 所以|MO|＝. 即点M到原点的距离为. 例2 解析：因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x，0，0)， 因为|PP1|＝2|PP2|， 所以＝ 2， 解x＝±1，所以P点坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)． 巩固训练2 解析：由M在y轴上，不妨设M为(0，y，0)， 由|PM|＝，解得 y＝－1， ∴M(0，－1，0)． 答案：B 例3 解析：N是xOy平面内直线l：2x＋y－1＝0上的一个动点，所以可设点N(m，－2m＋1，0)， 由空间两点之间的距离公式，得 |MN|＝ ＝， 令 t＝5m2－12m＋17＝52＋， 当m＝时，t的最小值为， 所以当m＝时，，即M，N两点的最短距离为. 巩固训练3 解析：因为|AB|2＝49，|BC|2＝98，|CA|2＝49，所以|AB|2＋|CA|2＝|BC|2，且|AB|＝|CA|，所以这三点构成等腰直角三角形． 答案：C ... ...
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