2.2 空间向量及其运算 学案（含答案）

2．2　空间向量及其运算 (1)理解空间向量的概念，掌握其表示方法．(2)会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律．(3)掌握空间向量的数乘运算律．(4)掌握共线向量定理．(5)掌握两个向量的数量积的计算及其应用． 新知初探·课前预习———突出基础性 教 材 要 点 要点一　空间向量 1．空间向量的概念 定义 把空间中既有_____又有_____的量称为空间向量 ． 长度 向量的_____叫作向量的长度或_____． 表示法 ①几何表示法：空间向量用_____表示． ②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2.几类特殊向量 相等向量 方向_____且长度_____的向量． 相反向量 方向_____、长度_____的向量． 零向量 长度为零的向量． 单位向量 长度为_____的向量． 共线向量(平行向量) 对于空间任意两个向量a、b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作_____． 要点二　空间向量的加减与数乘运算 要点三　空间向量的数量积 1.空间向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角 ，记作_____，其取值范围为[0，π]. 2．空间向量的数量积 定义a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉 为a与b的数量积． 3．性质 a·b＝0 _____，a·a＝_____，|a|＝_____，cos 〈a，b〉＝_____． 4．运算律 λ(a·b)＝_____，a·b＝_____(交换律)，a·(b＋c)＝_____(分配律)． 5．投影向量 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则_____为在方向上的投影向量，投影向量的模_____＝|||cos α|称为投影长，称_____为在方向上的投影，其正负表示与方向相同还是相反． 批注 　空间向量在空间中是可以任意平移的． 批注 　类比平面向量记忆． 批注 　当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即＝． 批注 　注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λ＝；当λ≠0时，若＝，则λ＝． 批注 　关键是起点相同！ 批注 　(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量． (2)零向量与任意向量的数量积等于零． 批注 　特别提醒：不满足结合律(　·)　·＝·(·)． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(　　) (2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　) (3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　) 2．下列说法正确的是(　　) A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D．不相等的两个空间向量的模可能相等 3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 4．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝_____． 题型探究·课堂解透———强化创新性 题型1　空间向量的线性运算 例1　(1)(多选)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) －－ B. C. D. (2)如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①；②． 方法归纳 空间向量线性运算的3个技巧 巩固训练1　 如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点． (1)化简：－； (2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝，试求实数x，y，z的值． 题型2　共线向量的应用 例2　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝，F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线. 方法归纳 证明空间三点共线的三种思路 巩固训练 ... ...