1.3.2 函数的极值与导数 学案（含答案）

1．3.2　函数的极值与导数 (1)借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． (2)能利用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 新知初探·课前预习———突出基础性 教 材 要 点 要点一　函数的极值与导数 要点二　函数的驻点与极值点 (1)若f′(c)＝0，则_____叫作函数f(x)的驻点． (2)如果一个函数的导数在驻点的两侧_____，则该驻点就是此函数的一个极值点． 批注 　函数极值是一个局部的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的． 批注 　极值点是函数定义域上的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点． 批注 　也就是说，若f′(c)存在，则f′(c)＝0是f(x)在x＝c处取到极值的必要条件，但不是充分条件． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)导数为0的点一定是极值点．(　　) (2)函数的极大值一定大于极小值．(　　) (3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　) 2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝－2为f(x)的极大值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝0为f(x)的极小值点 4．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，则函数f(x)的极大值为_____． 题型探究·课堂解透———强化创新性 题型1　求函数的驻点、极值点和极值 例1　求下列函数的驻点、极值点、极值． (1)y＝(x2－1)3＋1； (2)f(x)＝. 方法归纳 求函数驻点、极值点和极值的步骤 巩固训练1　求函数f(x)＝－2的驻点、极值点和极值． 题型2　已知函数极值求参数 例2　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝_____，b＝_____. (2)已知函数f(x)＝x3＋ax2－(a－1)x＋7既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围． 方法归纳 已知函数极值求参数的方法 巩固训练2　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值，则a＝_____，b＝_____． (2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． 题型3　函数极值的综合应用 例3　若对任意a∈[3，4]，函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围． 方法归纳 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便． 巩固训练3　已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围． 1．3.2　函数的极值与导数 新知初探·课前预习 [教材要点] 要点二 (1)x＝c　(2)变号 [基础自测] 1．(1)×　(2)×　(3)× 2．解析：由导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象可知， 函数f′(x)在(a，b)内的图象与x轴有四个公共点， 在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正， 在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负， 所以函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有1个． 答案：A 3．解析：由f′(x)的图象可知，f(x)在(－∞，－2)和(，2)上单调递减，在(－2，)和(2，＋∞)上单调递增，所以x＝为f(x)的极大值点，x＝－2和x＝2为f(x)的极小值点，x＝0不是函数的极值点． 答案：A 4．解析：∵f(x)＝x3－3x2＋2， ∴f′(x)＝3x2－6x， 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2. 所以当x＝0时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)的极大值为f(0)＝2. 答案：2 题型探究·课堂解透 例1　解析：(1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2. 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝ ... ...