1．3.4 导数的应用举例 (1)了解导数在解决实际问题中的作用．(2)掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 课前预习———突出基础性 教 材 要 点 要点 利用导数解决优化问题 (1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题 . (2)用导数解决优化问题的基本思路是： 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)用导数研究实际问题要先求定义域．( ) (2)将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为3和5.( ) (3)做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m．( ) 2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A．8 B． C．－1 D．－8 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 4．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为_____ m时，容器的容积最大． 题型探究·课堂解透———强化创新性 题型1 利润最大问题 例1 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系y＝＋10(x－6)2式，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 方法归纳 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值． 解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利． 巩固训练1 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 题型2 用料、费用最少问题 例2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 方法归纳 用料、费用最少问题是日常生活中常见的问题之一．解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，然后正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 巩固训练2 一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v的关系为w(v)＝(18≤v≤30)，要使燃料费最低，则v＝( ) A．18 B．20 C．25 D．30 题型3 几何中的最值问题 例3 将一块2 m×6 m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3. (1)写出y关于x的函数关系式； (2)当x取何值时，水箱的容积最大？ 方法归纳 解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式，能够依据题意确定出自变量的取值范围，建立准确的函数关系式，然后利用导数的方法加以解决． 巩固训练3 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各 ... ...
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