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课件网) 第一章 直线与圆 §2 圆与圆的方程 2.2 圆的一般方程 学习任务 核心素养 1．理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算素养． 2．通过对圆的一般方程的应用，培养直观想象与数学运算素养． 1．在什么条件下，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆？ 2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，圆心与半径分别是什么？ 必备知识·情境导学探新知 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当_____时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程． (2)圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径 圆C的圆心为_____，半径长为_____． D2＋E2－4F >0 (3)圆的方程在代数结构上的特征 对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时， ①x2，y2的系数____，且_____，即_____； ②不含xy这样的项，即_____． 相同 不等于0 A＝B≠0 C＝0 × √ √ √ 3．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是_____． 点P在圆C外 [将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外．] 点P在圆C外 关键能力·合作探究释疑难 √ 类型1 圆的一般方程的概念 【例1】 (1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( ) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) (2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是_____，半径是_____． (－2，－4) 5 (1)B (2)(－2，－4) 5 [(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B． (2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2． 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5． 当a＝2时，方程不表示圆．] [跟进训练] 1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0． 类型2 求圆的一般方程 【例2】 【链接教材P32例4】 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 【教材原题·P32例4】 例4 求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程． 图1－29 反思领悟 待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r． (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F． [跟进训练] 2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程． ∴2D＋4E－F－20＝0，② 8D＋6E＋F＋100＝0．③ 联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30， 故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0． 类型3 与圆有关的轨迹方程问题 【例3】 点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． [解] (1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1． (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|． 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－ ... ...
