(课件网) 第23章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 2. 30°，45°，60° 角的三角函数值 第2课时 互余两角的三角函数 回顾与思考 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 三角 函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 从上面的练习中我们不难发现： 你还能从中发现什么规律呢？ sin 30° = cos 60° sin 60° = cos 30° sin 45° = cos 45° 规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余（正）弦值. 问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学的知识证明你的结论吗？ 提示：使用三角函数的定义证明. A C B c a b 互余两角的正弦、余弦值的关系 问题引导 在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边，邻边和斜边之间的比值也随之确定. b A B C a ┌ c ∴sin A = cos B，cos A = sin B. ∴sin A = cos B，cos A = sin B. ∵∠A +∠B = 90°， ∴∠B = 90°－∠A， 即 sin A = cos B = cos(90°－∠A)， cos A = sin B = sin(90°－∠A). 试一试：你能用文字叙述你发现的结论吗？ b A B C a ┌ c 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值. 归纳总结 几何语言： ∵∠A +∠B = 90°， ∴sinA = cosB，cosA = sinB. 例1 如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，若 sin A＝ ，求 cos B 的值. 解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立． 典例精析 解 ∵∠A+∠B = 90°， ∴cos B = cos(90° - ∠A) = sin A = 例2 已知 cos α＝ ，α＋β＝90°，则 cos β＝( ) C 解析：∵cos α＝ ，α＋β＝90°，∴sin β＝cos α＝ .设 β 是一个直角三角形中的锐角，且 sin β＝ ， 设 b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为 a＝4k， ∴cos β = 利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边． 方法总结 下列式子中，不成立的是（ ） A．sin 35° = cos 55° B．sin 30°+ sin 45° = sin 75° C． cos 30° = sin 60° D．sin260° + cos260° = 1 B 练一练 互余两个锐角的正切值的关系 b A B C a ┌ c 在直角三角形中，若一个锐角确定，那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定. 结论：互余两个锐角的正切值互为倒数. 例3 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程 3x2－tx＋3＝0 的两个根，则∠C＝_____． 解析：∵tan A，tan B 为方程 3x2－tx＋3＝0 的两根， ∠A，∠B 是锐角． ∴tan A·tan B＝1. ∴∠A＋∠B＝90°. ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°. 90° 【方法总结】利用 tan A·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A 与∠B 之间的关系，从而求出∠C 的大小． 解：∵在△ABC 中，∠C = 90°，tan A = ， ∴ tan B = . 又∵ sin A = ， ∴ cos B = sin A = . 1.在 △ABC 中，∠C = 90°，tan A= ，sin A= ， （1）求 tan B，cos B。（2）求cosA. 知识拓展： 同一个锐角的三角函数之间的关系： 1. cos2A + sin2A=1 2.tan A=sinA/cosA 2.计算： tan 33° · tan 34° · tan 35° · tan 55° · tan 56° · tan 57° 解：原式 = (tan 33° · tan 57°)( tan 34° · tan 56°) (tan 35° · tan 55°) =1×1×1 =1 互余两角的 三角函数 任意一个锐角的正（余）弦值，等于 它的余角的余（正）弦值. 互余两个锐角的正切值互为倒数. ... ...
