3.2.1 双曲线及其标准方程 [教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法). 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题. 1.双曲线的定义 定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于非零常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,分左右两支,常数用2a表示 焦点 叫做双曲线的焦点 焦距 叫做双曲线的焦距,用2c(c>0)表示 集合 语言 P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|} |微|点|助|解| (1)在双曲线定义中,若|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|),即“去掉绝对值符号”,则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2). (2)2a的大小与点M的轨迹如下表所示. 条件 结论 0<2a<|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线 2a=|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1,F2为端点,指向F1,F2所在直线两侧的射线 2a>|F1F2| 动点M不存在,因而轨迹不存在 2a=0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线 2.双曲线的标准方程 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 焦距 |F1F2|= a,b,c 的关系 c2= |微|点|助|解| (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴. (2)焦点F1,F2的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,即若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上. (3)参数a,b,c的几何意义:在双曲线的标准方程中,因为a,b,c三个量满足c2=a2+b2,所以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,且长度为c的线段是斜边,如图所示. 基础落实训练 1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是 ( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 2.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数k的取值范围为 ( ) A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 3.以F1(-,0),F2(,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 ( ) A.-y2=1 B.-y2=1 C.-y2=1 D.x2-=1 4.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|-|PF2|=4,则动点P的轨迹是 ( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.双曲线或线段或不存在 题型(一) 与双曲线有关的轨迹方程问题 [例1] 动圆M与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0),求圆心M的轨迹方程. 听课记录: |思|维|建|模| 1.求与双曲线有关的点的轨迹方程的方法 (1)列出等量关系,化简得到方程. (2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程. 2.易错提醒 (1)双曲线的焦点所在的坐标轴判断错误. (2)忘记判断所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. [针对训练] 1.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程为 ( ) A.-=1(x>2) B.-=1(x>3) C.+=1(00)或mx2+ny2=1(mn<0). [针对训练] 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2); (2)经过A(-7,-6),B(2,3)两点; (3)过点P(-,2),且与椭圆+=1有相同焦点. 题型(三) 双曲线的定义及应用 题点1 确定有关几何量的值 [例3] 已知M是双曲线-=1上一点,点F1,F2分别是双曲线左、右焦点,若|MF1|=5,则|MF2|= ( ) A.9或1 B.1 C.9 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
