2.2 圆的一般方程 课时目标 1.理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化. 2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题. 1.圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中_____)称为圆的一般方程，圆心为_____，半径为_____. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心， 为半径的圆 微点助解 1.圆的一般方程形式上的特点 (1)x2，y2的系数均为1；(2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F>0. 2.在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但配方后却有着明确的几何意义，表示圆心， 表示半径. 3.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.( ) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( ) (4)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆.( ) 2.圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(－1,2)，3 B.(1，－2)，3 C.(－1,2)，1 D.(1，－2)，1 3.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，2) C.[－2，2] D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 题型(一) 圆的一般方程的概念 [例1] 已知方程x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)若圆的直径为6，求t的值. 听课记录： 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法 (1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆. [提醒] 在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数. [针对训练] 1.若方程x2＋y2＋2kx－4y＋k2＋k－2＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是( ) A.(－6，＋∞) B.[－6，＋∞) C.(－∞，6] D.(－∞，6) 2.方程x2＋y2＋ax＋(2b－1)y－1－b2＝0表示圆心在y轴上的圆，当半径最小时，方程为( ) A.x2＋2＝1 B.x2＋(y－1)2＝2 C.x2＋2＝ D.x2＋2＝ 题型(二) 求圆的一般方程 [例2] 已知圆M经过点A(2，－2)，B(－4,6)，C(4,2).求圆M的方程. 听课记录： [方法技巧] 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组. (3)解此方程组，求出D，E，F的值. (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. [针对训练] 3.已知圆C经过两点A(0,2)，B(4,6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为( ) A.x2＋y2－6x－6y－16＝0 B.x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C.x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D.x2＋y2－2x＋2y－56＝0 4.已知O(0,0)，A(2,0)，B(2，－2)，C(m，－1)四点共圆，求实数m的值. 题型(三) 与圆有关的轨迹问题 [例3] 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 听课记录： [变式拓展] 若本例条件不变，求过点B的弦的中点T的轨迹方程. [方法技巧] 求与轨迹问题有关的圆的方程 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆、直线等定义列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 [针对训练] 5.已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是( ) A.y2＝4x B.x2＋y2－2 ... ...
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