4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 课时目标 进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.会解决中点弦问题. 题型(一) 弦长问题 [例1] 已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为_____. 听课记录： [例2] 已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为y＝x. (1)求C的标准方程； (2)若直线l：y＝x－1与双曲线C交于A，B两点，求|AB|. 听课记录： 求解弦长的4种方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解. (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2(或(y1－y2)2)，代入两点间的距离公式求解. (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. [针对训练] 1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，第四象限的一点P(2，m)在C上，且|PF|＝4. (1)求C的方程和m的值； (2)若直线l交C于A，B两点，且线段AB中点的坐标为(1,1)，求直线l的方程及线段AB的长. 题型(二) 中点弦问题 [例3] 设A，B为双曲线－＝1上的两点，若线段AB的中点为M(1,2)，则直线AB的方程是( ) A.x＋y－3＝0 B.2x＋y－3＝0 C.x－y＋1＝0 D.x－2y＋3＝0 听课记录： [例4] 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程. 听课记录： [方法技巧] 解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的方法 根与系数的关系法 将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解 点差法 设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系 [针对训练] 2.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－4，－7)，则E的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3.已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的标准方程； (2)求直线AB的方程. 题型(三) 弦长的最值问题 [例5] 已知椭圆C：＋＝1，过椭圆右焦点的直线l与椭圆交于M，N两点，求|MN|的取值范围. 听课记录： 求圆锥曲线弦的最值范围主要利用函数和不等式解决，但需注意下列问题： (1)椭圆、双曲线中心弦的最值(范围)利用对称性更简单. (2)抛物线焦点弦的最值常用定义. (3)设弦所在直线方程要讨论斜率是否存在. (4)隐含条件Δ＞0需成立. [针对训练] 4.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(－2，0)，点G在抛物线C上，且|AG|＋|GF|的最小值是4. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，求△AMN面积的取值范围. 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 [题型(一)] [例1] 解析：∵直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1,0)，且斜率为2，∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 法一 由方程组 解得或则交点A(0，－2)， B. ∴|AB|＝ ＝＝. 法二 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y，得3x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2|＝×＝. 法三 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去x，得3y2＋2y－8＝0，则由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴|AB|＝|y1－y2|＝×＝. 答案： [例2] 解：(1)因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意得2c＝4，所以c＝2①， 又双曲线C的一条渐近线为y＝x， 所以＝②， 又a2＋b2＝c2③， 联立上述式子解得a＝，b＝1， 故所求方程为－y2＝1. (2)设A(x1，y1 ... ...
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