4.1 二项式定理的推导 课时目标 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. (a＋b)n＝_____.可以简写成(a＋b)n＝Can－kbk. (1)这个公式称为二项式定理. (2)二项展开式：等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，二项展开式中共有_____项. (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)称为二项式系数. (4)二项式通项：(a＋b)n的二项展开式的第_____项称为二项式通项，记作Tk＋1＝_____. 微点助解 (1)每一项中a与b的指数和为n； (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止； (3)若a与b的位置交换，则展开式形式变化； (4)Can－kbk表示的是第(k＋1)项； (5)二项式定理中只有a，b两项.若有多项，可合并化为两项后再解决问题. [基点训练] 1.若N＝16＋32(x－1)＋24(x－1)2＋8(x－1)3＋(x－1)4，则N＝( ) A.(x－1)4 B.(x＋1)4 C.(x－3)4 D.(x＋3)4 2.二项式12的展开式中，含x2项的系数是( ) A.－462 B.462 C.792 D.－792 3.用二项式定理展开(x＋2)4＝_____. 题型(一) 二项式定理的正用和逆用 [例1] 设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( ) A.(x－1)3 B.(x－2)3 C.x3 D.(x＋1)3 听课记录： [例2] 用二项式定理展开(2x＋)4＝_____. 听课记录： [方法技巧] 二项式定理的正、逆用 正用 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式会出现正负项间隔的情况.对于较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 逆用 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数 [针对训练] 1.(1)求4的展开式. (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 题型(二) 二项展开式项的系数 [例3] (1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求9的展开式中x3的系数. 听课记录： 二项式通项的应用的常见题型 (1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1； (2)求含xk的项(或xpyq的项)； (3)求项的系数或二项式系数. [针对训练] 2.已知二项式10. (1)求展开式的第4项的二项式系数； (2)求展开式的第4项的系数； (3)求展开式的第4项. 题型(三) 与展开式中特定项有关的问题 [例4] 在二项式7的展开式中，x的指数为整数的项的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 听课记录： [例5] 若6的展开式的常数项为60，则实数a的值为( ) A.4 B.2 C.8 D.6 听课记录： 求展开式中特定项的方法 求展开式中特定项的关键是抓住其通项，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解.判断有理项的方法是要保证字母的指数一定为整数. [针对训练] 3.在7的展开式中，系数为有理数的项是( ) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 4.二项式10的展开式的中间项为_____. 4.1 二项式定理的推导 ?课前环节 Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (2)(n＋1) (4)(k＋1) Can－kbk [基点训练] 1.选B N＝16＋32(x－1)＋24(x－1)2＋8(x－1)3＋(x－1)4＝(x－1)4＋C(x－1)3·2＋C(x－1)2·22＋C(x－1)·23＋24＝(x－1＋2)4＝(x＋1)4. 2.选D 12展开式的通项为 Cx12－k(－1)kx－k＝(－1)kCx12－2k，k∈{0,1,2，…，12}，令12－2k＝2，解得k＝5，所以x2项的系数是(－1)5C＝－792. 3.解析：(x＋2)4＝Cx420＋Cx321＋Cx222＋Cx123＋Cx024＝x4＋8x3＋24x2＋32x＋16. 答案：x4＋8x3＋24x2＋32x＋16 ?课堂环节 [题型(一)] [例1] 选C S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1＝C(x－1)3×10＋C(x ... ...
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