28.3.2 圆周角 课题 圆周角 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P155--159 教学目标 1.了解圆周角的定义,会在具体情景中辨别圆周角. 2.掌握圆周角定理及推论，并能灵活运用这些知识进行简单的计算和证明. 教学重难点 重点：圆周角的概念以及圆周角定理和推论. 难点：圆周角定理的证明中采用的分类思想及由一般到特殊的数学思想方法. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 复习提问: 1.圆心角是如何定义的 答：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.圆心角与其所对的弦、弧的关系是什么 答：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等. 在同圆或等圆中，两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等. 3.如图，∠DAB与∠DCB是不是圆心角 它们有什么特点 答：∠DAB与∠DCB不是圆心角。它们的顶点在圆上，角的两边都与圆相交。 这些顶点在圆周，两边和圆相交的角就是我们这节课要学习的圆周角，让我们一起探究这些角与圆心角之间的关系吧! 通过从具体生活情境出发, 使学生意识到数学与生活密不可分,激发学生学习兴趣,在实际问题中画出图形,建立数学模型,通过观察、归纳题目中角的特征，很自然地导出圆周角的概念. 2.实践探究，学习新知 一、圆周角的概念 【定义】 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 【针对练习】 观察下列图形中的角都是圆周角吗 解答：图(1)中∠APB是圆周角，图(2)和图(3)中∠AQB,∠ARB不是圆周角，图(4)中的∠ASB是圆周角，而∠ASC不是圆周角。 【要点提示】强调圆周角必须满足两个条件： 一是顶点在圆上，二是两边都与圆相交，二者缺一不可. 二、圆周角定理 1.通过圆周角的概念和度量的方法回答下列问题（出示小黑板）： （1）一条弧所对的圆周角的个数有多少个？ （2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ （3）同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？ 【答案】（1）一条弧所对的圆周角的个数有无数个。 （2）通过度量，我们可以发现：同弧所对的圆周角是没有变化的。 （3）通过度量，我们可以发现，同弧上的圆周角是圆心角的一半。 2. 画一画 请同学们动手画出⊙O中BC所对的圆周角．观察BC所对的圆周角与圆心O有几种位置关系？ 学生动手在纸上操作，得出结论。 圆周角与圆心的位置关系：⑴圆心在角的一边上；⑵圆心在角的内部；⑶圆心在角的外部。 3. 分类讨论，验证猜想 对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？能否考虑从特殊情况入手试一下。 圆周角一边经过圆心． 由下图可知，显然∠APB＝∠AOB，结论成立． （1）已知：如上图，⊙O中，所对的圆周角是∠APB，圆心角是∠AOB． 求证：∠APB＝∠AOB． 证明：∵∠AOB是△APO的外角， ∴∠AOB＝∠APB＋∠PAO． ∵OA＝OP，∴∠APB=∠PAO． ∴∠AOB＝2∠APB． 即∠APB＝∠AOB． （2）如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？ 【解答】如图1，点O在∠APB内部时，只要作出直径PD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知： ∵∠APD＝∠AOD，∠BPD＝∠BOD， ∴∠APD＋∠BPD＝(∠AOD＋∠BOD)， 即∠APB＝∠AOB． 在图2中，当点O在∠APB外部时，仍然是作出直径PD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可． 由前面的结果，有∠APD＝∠AOD，∠BPD＝∠BOD． ∴∠BPD－∠APD＝(∠BOD－∠AOD)， 即∠APB＝∠AOB． 【归纳结论】 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 【归纳】同弧（等弧）所对的圆周角相等 重视：同弧说明是“同一个圆”； 等弧说明是“在同圆或等圆中”． 问 ... ...
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