28.4 垂径定理 课题 垂径定理 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P163-166 教学目标 1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其推论. 2.会用垂径定理进行简单的证明和计算. 3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系 教学重难点 重点：垂径定理及其应用. 难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 1.什么是轴对称图形 2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 3.你是用什么方法解决上述问题的？ (教师引导折叠课前准备的圆形纸片) 4.直径是圆的对称轴正确吗 师生活动：学生思考后回答，教师点评，指出“直径是圆的对称轴”这个结论的错误原因。师生共同归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线) 通过生活实际问题导入新课，让学生感受数学来源于生活，又应用于生活.通过复习旧知识和创设动手操作活动，激发学生学习兴趣，探索圆的对称性，引出本节内容，为本节课的学习做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 【探究】 我们知道了圆是轴对称图形，利用圆的轴对称性，我们还可以发现圆的一些性质. 1. 垂径定理 教师活动：1.动手操作：将图画在课前准备的圆形纸片上，将☉O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合？哪些弧重合？ 2.由此你能得出什么结论？尝试说出你的猜想. 通过探究，我们发现：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 3.你能证明你得到的结论吗 师生活动：学生在教师的引导下完成画图、折叠、观察、归纳、猜想，学生独立思考证明思路后，小组合作交流，小组代表板书证明过程，教师点评，规范书写格式，师生共同回忆归纳结论. 下面我们对这个结论进行证明. 已知：如图所示，在☉O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E. 证明：如图所示，连接OA，OB。 在△OAB中， ∵OA=OB，OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE. ∴. ∵∠AOC=180°-∠AOE，∠BOC=180°-∠BOE， ∴∠AOC=∠BOC. ∴AE=BE，. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言： ∵如上图所示，在☉O中，CD为直径，CD⊥AB， ∴AE=BE，. 2.垂径定理的推论 如图所示，在☉O中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. 思考： (1)若AE=BE，能判断CD与AB垂直吗？与(或与)相等吗？说明你的理由. (2)若(或)，能判断CD与AB垂直吗 AE与BE相等吗？说明你的理由. 师生活动:学生独立思考，小组合作交流，独立书写解答过程，小组代表展示，教师对学生的展示点评，规范书写格式. 解：(1)CD⊥AB，=(或=)。 理由是：连接OA，OB，如图所示，则△OAB是等腰三角形， ∵AE=BE，∴CD⊥AB. 由垂径定理可得，. (2)CD⊥AB，AE=BE. 理由是：连接OA，OB，如图所示， ∵=，∴∠AOD=∠BOD， 又∵OA=OB，OE=OE，∴△AEO≌△BEO， ∴∠AEO=∠BEO，AE=BE， ∴CD⊥AB. 追加思考： (1)垂径定理中的条件和结论分别是什么 用语言叙述。 (2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么 (3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗 师生活动：师生共同分析解答，通过追加思考，师生共同归纳结论. 可以知道只要满足两个条件①过圆心，②垂直于弦，就可以得到三个结论①平分弦，②平分弦所对的劣弧，③平分弦所对的优弧，这是定理的本质内容. 在☉O中，设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE，CD⊥AB，中的一项作为条件，则可得到另外两项结论. 【例题】 例1 如图所示，已知CD为☉O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长. 教师活动：引导思考： 1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段 连接半径，构造直角三角形. 2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点 根据垂径 ... ...
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