4．3 一元二次不等式的应用 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学) [课时目标] 掌握与一元二次不等式相关的不等式解法；能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决． 题型(一) 简单分式不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)<0；(2)≤1. 听课记录： |思|维|建|模| 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． [针对训练] 1．解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 题型(二) 一元二次不等式恒成立问题 [例2] 对 x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围． 听课记录： [变式拓展] 1．在本例中，是否存在m∈R，使得 x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．在本例中，把条件“ x∈R”改为“x∈[2,3]”，其余不变，求m的取值范围． |思|维|建|模| 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． [针对训练] 2．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是_____． 3．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． 题型(三) 一元二次不等式的实际应用 [例3] 某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 听课记录： |思|维|建|模| 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式． [针对训练] 4．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问谁超速行驶应负主要责任． 一元二次不等式的应用 [题型(一)] [例1] 解：(1)<0 (x－3)(x＋2)<0 －23. 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可改写为－3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－10. 2．解：由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1， 因为x∈[2,3]，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝2－≤ ... ...
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