3.2.2 指数函数性质的应用 (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学) [课时目标] 1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质. 2.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式. 3.会判断指数型函数的单调性、最值问题. 题型(一) 比较指数式大小 [例1] 比较下列各题中两个值的大小： (1),;(2)1.70.3,0.93.1; (3),;(4)0.20.3,0.30.2. 听课记录： |思|维|建|模| 比较指数式大小的3种类型及处理方法 [针对训练] 1．已知a>b，比较a，b的大小． 2．比较(0.8)－2与－的大小． 题型(二) 简单指数不等式的解法 [例2] (1)解不等式3x－1≤2； (2)已知ax2－3x＋1
0，且a≠1)，求x的取值范围． 听课记录： |思|维|建|模| (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需要进行分类讨论，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)9x； (2)0.2x<25； (3)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)． 题型(三) 指数型函数的单调性问题 [例3] 判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域． 听课记录： [变式拓展] 1．把本例的函数改为“f(x)＝3”，求其单调区间． 2．若本例变为函数f(x)＝在区间(－1,1)上单调递减，求实数m的取值范围． |思|维|建|模| (1)对于求形如f(x)＝ma2x＋max＋q(m≠0，a＞0，且a≠1)的函数的单调性，往往通过换元设t＝ax，然后结合二次函数与指数函数的单调性，进行判断． (2)对于求形如f(x)＝aφ(x)(a＞0，且a≠1)的函数的单调性，往往通过换元设t＝φ(x)，然后结合函数t＝φ(x)与指数函数y＝at(a＞0，且a≠1)的单调性，进行判断． [针对训练] 4．(多选)对函数f(x)＝判断正确的是( ) A．增区间为(0，＋∞) B．增区间为(－∞，0) C．值域为 D．值域为 5．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 题型(四) 指数函数性质的综合 [例4] 已知函数f(x)＝·x3. (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0. 听课记录： |思|维|建|模| 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧． (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行． (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论． [针对训练] 6．设a>0，函数f(x)＝＋是定义域为R的偶函数． (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[1,3]上的值域． 指数函数性质的应用 [题型(一)] [例1] 解:(1)因为0<<1,所以函数y=在其定义域R上单调递减.又-1.8>-2.5,所以<. (2)因为1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1, 所以1.70.3>0.93.1. (3)因为y=在R上是减函数,y=在R上为增函数,且-<0,所以>1,<1,所以>. (4)因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+∞)上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方,所以0.20.2<0.30.2. 又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数,可得0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2. [针对训练] 1．解:∵0<<1,∴y=在R上单调递减. 又>,∴a0.80=1. 再考察函数y=. ∵>1,∴函数y=在(-∞,+∞)上是增函数. 又-<0,∴<=1. 综上可知,0.8-2>. [题型(二)] [例2] (1)∵2=,∴原不等式可以转化为≤.∵y=在R上是减函数, ∴3x-1≥-1.∴x≥0. 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)①当0