6.2.4 第1课时　平面向量的数量积（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．2.4　向量的数量积 第 1 课时　平面向量的数量积 ——— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学) 　[课时目标] 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量． 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个_____向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则_____叫做向量a与b的夹角(a，b的夹角也记作〈a，b〉)． (2)特殊情况：当θ＝0时，a与b_____；当θ＝π时，a与b_____；如果a与b的夹角为，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量_____叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝_____ 规定 零向量与任一向量的数量积为____ |微|点|助|解|　 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． (4)|a|＝是求向量的长度的工具． (5)区分0·a＝0与0·a＝0. (6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件；a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件． 3．投影向量 (1)定义 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． (2)公式 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是_____． 4．数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝_____. (2)a⊥b _____. (3)当a与b同向时，a·b＝_____；当a与b反向时，a·b＝_____.特别地，a·a＝_____或|a|＝_____. (4)|a·b|≤_____. |微|点|助|解|　 关于投影向量的注意点 (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量． (2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性． (3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果． 1．(多选)在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是(　　) A.与的夹角是钝角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　　) A. B. C．1＋ D．2 3．已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 4．已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e上的投影向量是_____． 题型(一)　向量的夹角 [例1]　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 听课记录： |思|维|建|模| 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．　　 [针对训练] 1．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点，求与的夹角． 题型(二)　向量的数量积 [例2]　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·； (2)·； (3)·. 听课记录： |思|维|建|模| 向量数量积的求法 求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．　　 [针对训练] 2．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 3．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝_____，·＝_____，·＝_____. 题型(三)　投影向量 [例3]　在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·； (2)在上的投影向量； (3)在上的投影向量． 听课记录： |思|维|建|模| 投影向量的求法 (1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量 ... ...