6．3.5 平面向量数量积的坐标表示 ——— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学) [课时目标] 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 平面向量数量积的坐标表示 设a，b是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有： 项目 坐标表示 数量积 a·b＝_____ 模 |a|＝_____或|a|2＝_____ 两点间距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则||＝_____ 垂直 a⊥b a·b＝0 _____ 夹角 cos θ＝＝_____ |微|点|助|解| 关于平面向量数量积坐标表示的几个关注点 (1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． (2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． (3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.( ) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b x1x2－y1y2＝0.( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) 2．已知＝(3，－4)，则||等于( ) A．3 B．4 C. D．5 3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是( ) A．12 B．3 C．－3 D．－12 4．已知向量a＝(－4,3)，b＝(5,12)，则a·b＝( ) A．52 B．－3 C．－10 D．16 5．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为_____． 题型(一) 向量数量积的坐标表示 [例1] (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( ) A．12 B．0 C．－3 D．－11 (2)已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( ) A．20 B．15 C．9 D．6 听课记录： |思|维|建|模| 数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积． [针对训练] 1．已知点P(2,4)，Q(1,6)，向量＝(2，λ)，若·＝0，则实数λ的值为( ) A. B．－ C．2 D．1 2．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，则·＝( ) A．4 B．6 C．8 D．10 题型(二) 向量的模 [例2] (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( ) A. B. C. D. (2)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|＋4|的最小值为( ) A．3 B．6 C．2 D．4 听课记录： |思|维|建|模| 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [针对训练] 3．已知＝(1,3)，＝(3，m)，·＝2，则||＝( ) A．1 B．2 C. D．3 4．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为_____． 题型(三) 向量的夹角与垂直 [例3] 设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝. (1)求a与b的夹角θ. (2)求证：a＋b与a－b垂直． 听课记录： |思| ... ...
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