2.2.1 等差数列的前n项和公式(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.理解并应用等差数列前n项和的性质. 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 [微点助解] (1)公式Sn=反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. (2)由公式Sn=na1+d知d=0时,Sn=na1;d≠0时,等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 2.等差数列前n项和的常见性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 . (2)若Sn,S2n,S3n,…分别为等差数列{an}的前n项,前2n项,前3n项,…和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为 . (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=. (4)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇= ,=(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n+1,则=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项),S偶-S奇=-an+1,= (S奇≠0). (6)在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则=-(m+n). 上述性质可用于小题,大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn,S2n,S3n,…成等差数列. [基点训练] 1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10= ( ) A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于 ( ) A.72 B.54 C.36 D.18 3.已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项的和是 ( ) A.112 B.51 C.28 D.18 题型(一) 等差数列前n项和的基本运算 [例1] (1)已知{an}为等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,an=11,Sn=35,求a1,n; (2)在等差数列{an}中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10. 听课记录: [变式拓展] 本例(1)中,将“d=2”改为“a1=3”,其他条件不变,求n和公差d. [思维建模] (1)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,特别地,m+n=2r,则2ar=am+an,常与求和公式Sn=结合使用. [针对训练] 1.(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,a3+a7= ( ) A.-2 B. C.1 D. 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= . 题型(二) 等差数列前n项和公式的应用 [例2] 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式an; (2)求证:数列{an}是等差数列. 听课记录: [变式拓展] 若本例中数列{an}的前n项和为Sn=3n2+4n+1(n∈N+).求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列,若是,请证明;若不是,请说明理由. [思维建模] 由Sn求得通项公式an的特点:若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列. [针对训练] 3.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r. (1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列; (2)若数列{an}是等差数列,求r满足的条件. 题型(三) 等差数列前n项和的性质及应用 [例3] 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110. 听课记录: [思维建模] 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算. (3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列进行求解. [针对训练] 4.在项数为2n+1的等差数列中,若所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为1 ... ...
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