17.5 反证法 课题 17.5 反证法 课型 新授课 教学内容 教材第162-164页的内容 教学目标 1.通过实例体会反证法的含义. 2.知道反证法证明命题的一般步骤. 3.借助实例感受反证法的思想. 教学重难点 教学重点：反证法证明命题的步骤. 教学难点：运用反证法证明命题. 教 学 过 程 备 注 1.回顾反思，导入课题 欣赏故事“道旁苦李”： 《世说新语》记载：王戎七岁，尝与诸小儿游.道边李树多子折枝，诸儿竞去取之，唯戎不动.人问之，答曰：“树在道边而多子，必苦李.”取之，信然. 师生活动：说说这个故事和数学知识间的联系. 2.互动探究，学习新知 上面情境中，王戎并没有尝到李子，他是根据道旁李树上李子多少的情况进行判断的，经过分析便知道了李子是苦的， 这就本节我们学习的“反证法”. 仔细分析王戎的思考过程,不难看出它分3个步骤: （1）假设道边李子是甜的； （2）根据这个假设进行推理,推得一个与现实事实（道边李多子）相矛盾的结果———道边李少子; （3）根据这个矛盾，说明原来假设（道边李子是甜的）是错误的，便可知道道边李子是甜的的反面———必苦李”是正确的结论. 【过渡语】在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法. 活动一:一起探究———反证法 在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎么证明它呢？ 已知：如图所示，ΔABC. 求证：在ΔABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角. 让学生讨论，怎样证明这个问题,教师引导学生先假设有两个角是直角（或三个角都是直角)进行证明，用我们以前学过的定理进行判断. 学生各抒己见,教师出示答案，讲评、规范步骤. 证明:假设ΔABC中有两个(或三个)直角,不妨设∠A=∠B=90°， ∵∠A+∠B=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°+∠C>180°， 这与“三角形的内角和等于180°"相矛盾， 因此三角形有两个(或三个）直角的假设是不成立的. 所以如果三角形含直角,那么它只能有一个直角. 上述证明过程，是先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果.因此,假设是错误的,原结论是正确的. 教师小结：这种证明命题的方法叫做反证法,反证法是间接证明的方法. 让学生说一说刚才证明的过程,总结一下用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤. 教师在学生总结的基础上进行完善、归纳. 第一步:假设命题的结论不成立. 第二步：从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步:由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 活动二:教材例题———反证法的应用举例 例1 用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. （1）想一想用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是什么； （2）写出已知、求证; （3）和小组成员讨论，交流解决问题的思路和想法，选择恰当的方法进行推理，注意推理的严密性. 指两名学生板演后，全班同学进行点评,找出存在的问题，对于好的思路和想法，教师要给予鼓励和表扬，最后教师规范出解题过程,其他同学进行比较,找出自身存在的问题进行修改. 已知:如图所示,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB，CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角. 求证:∠1=∠2 证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN=∠1. ∵∠EGN=∠1, ∴MN∥CD（基本事实）. 又∵AB∥CD（已知）, ∴过点G,有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“经过已知直线外一点,有且只有一条直线和已知直线平行"相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此∠1=∠2. 例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边"定理 ... ...
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