第04讲 7.2.2 复数的乘、除运算 课程标准 学习目标 ①掌握复数代数形式的乘法和除法运算。 ②理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 1.在熟悉课本能容的基础上，掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.在学习中逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律； 知识点01：复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) 【即学即练1】（2023上·贵州六盘水·高二统考阶段练习）的虚部为 ． 【答案】5 【详解】由题意得，所以的虚部为5． 故答案为：5 知识点02：复数代数形式的乘方 （1）复数的乘方 复数的乘方就是相同复数的乘积 （2）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有： ① ② ③ 知识点03：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【即学即练2】（2024·全国·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，则， 所以，所以．故B正确. 故选:B． 知识点04：复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 【即学即练3】（2023上·广西·高二凭祥市高级中学校联考阶段练习）已知，则在复平面上对应的点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为， 所以它在复平面上对应的点为，该点位于第四象限. 故选：D. 题型01 复数代数形式的乘法运算 【典例1】（2023上·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）已知，（i为虚数单位），则（ ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】因为，所以，解得. 故选:C. 【典例2】（2023上·四川成都·高三四川省成都市第八中学校校考阶段练习）已知 ， 则的虚部是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，则， 所以的虚部为2， 故选：A. 【典例3】（2023上·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则的模等于 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 【变式1】（2021·山西临汾·统考模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 复数的虚部是， 故选：C. 【变式2】（2024上·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末），则的共轭复数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D. 【变式3】（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）已知复数，则复数z的虚部为 ， ． 【答案】 1 【详解】由题意， 所以复数z的虚部为1，. 故答案为：1，. 题型02 复数的乘方 【典例1】（2023上·湖南永州·高三校考阶段练习）设（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由复数 ，所以. 故选：A. 【典例2】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知复数满足：，则（ ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【详解】由，,得 ， 所以． 故选：A． 【变式1】（2023上·江苏苏州·高三南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】， 设，则，，， ，故复数对应的点在第四象限. 故选：D 【变式2】（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）复数的虚部是（ ） A． B．1 C． D．-3 【答案】D 【详 ... ...
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