第04讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课程标准 学习目标 ①了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力； 2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解； 3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用； 知识点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和 长、宽、高分别为的长方体的表面积： 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图: 棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图 （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 ①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积 ①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解. （3）棱台的体积 ①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 ②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 题型01 棱柱的表面积 【典例1】（2024·全国·高一假期作业）某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】当该几何体为正四面体时，其表面积为． 当该几何体为正四棱锥时，其表面积为． 当该几何体为正三棱柱时，其表面积为． 当该几何体为正方体时，其表面积为． 故选：D． 【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，， 设棱、、的中点分别为、、. 原三棱柱的全面积（）. 由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示： 当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②： 图①的全面积（）， 图②的全面积（）， 当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥： 图③的全面积（）， 图④的全面积（）， 图⑤的全面积（）， 图⑥的全面积（）， 由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（）， 则（），解得：， 故a的取值范围是. 【典例3】（2023上·上海·高二专题练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9，表面积等于144 ，求这个棱柱的侧面积（）. 【答案】112或72 【详解】设底面边长、侧棱长分别为，， 则， 解得或， 所以或. 【变式1】（2023上·北京海淀·高二校考阶 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
