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课件网) 8.3 简单几何体的表面积与体积 预备知识———平面图形的面积 1.多面体的表面积公式 多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和。 如：棱长为2的正四面体的表面积 2.多面体的体积公式 (S,h分别为棱柱的底面积和高) (1)棱柱的体积： (2)圆/棱锥的体积： (S,h分别为棱锥的底面积和高) 圆柱体积： (r,h分别为圆柱的底面半径和圆柱的高) 祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。 前后体积不变 底面积和高都相等的棱柱，体积相等。 祖暅原理———推导棱锥体积公式 底面积和高都相等的棱锥，体积相等。 两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。 将三棱柱分割成3个小三棱锥， 由等底等高易证得V1=V2=V3 2.多面体的体积公式 (S,h分别为棱柱的底面积和高) (1)棱柱的体积： (2)棱锥的体积： (S,h分别为棱锥的底面积和高) (3)棱台的体积： (S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高) 推广：圆台体积 (r',r分别为上/下底半径，h为圆台的高) 棱台是由棱锥截出来的，因此可利用两个锥体的体积差， 得到棱台的体积公式． 推导棱台体积公式 根据面积比=相似比的平方，得 S为底面面积，h为柱体高 S分别为上、下底面面积，h为台体高 S为底面面积，h为锥体高 上底扩大 上底缩小 柱体、椎体、台体体积公式的关系 [变式]如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_____,体积为_____. P119-1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____. 小结 (S,h分别为棱/圆柱的底面积和高) (1)柱体体积： (2)锥体体积： (S,h分别为棱/圆锥的底面积和高) (3)棱台体积： (S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高) 圆台体积： (r',r分别为上/下底半径，h为圆台的高) [变式]如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_____,体积为_____. P119-1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____. 2.正三棱锥S-ABC的底面边长为1，高为， 则该三棱锥的表面积为_____. P120-3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点， 则当底面ABC水平放置时，水面高为多少？ 解：设底面ABC的面积为S， 底面ABC水平放置时，水面高为h. 3.如图，棱长为1的正方体的8个顶点中，有4个为正四面体的顶点，(1)这个正四面体与正方体的表面积之比为_____. (2)三棱锥B-ACB1的体积为_____. (3)正四面体B1-ACD1的体积为_____. (换底法) (割补法) 求三棱锥体积通常可用 换底法(也叫等积法). P116-3.广场的石凳： 棱长为50cm的正方体石块截去八个相同的四面体，求表面积or体积 (割补法) 变式练习.“鲁班锁”玩具： 每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为（ ） 鲁班锁可看成是1个棱长为_____的正方体截去了8个底面边长为___，侧棱为___的正三棱锥所余下来的几何体. 2 2 鲁班锁可看成由6个边长为__的正六边形和8个边长为__的正三角形围成的多面体. P119-2.如图，将一个长方体沿相邻3个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比. [变式]设长方体的长宽高分别为4,3,5，求棱锥B'-A'C'B的体积. (换底法) 绿优-5.如图，正方体棱长为1，E,F分别为棱AA1,B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积. (换底法) (割补法) 4.如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，EF ⊥面FBC，则该多面体的体积为_ ... ...
