5.2.3　简单复合函数的导数（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册

5.2.3　简单复合函数的导数(强基课梯度进阶式教学) 1.复合函数的定义 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作　　　　　. 2.复合函数求导法则 对于复合函数y=f(g(x)),y'x=　　　　　,即y对x的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 微点助解 　　使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,选择适当的中间变量. (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的导数,如(sin 2x)'=2cos 2x,不能得出(sin 2x)'=cos 2x. (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数,如求y=sin的导数,设y=sin u,u=2x+,则y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. (4)熟练掌握复合函数的求导后,中间步骤可省略不写. [基点训练] 1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 (　 ) A.y=un,u=x2-1 B.y=(u-1)n,u=x2 C.y=tn,t=(x2-1)n D.y=(t-1)n,t=x2-1 2.设函数f(x)=(1-2x)10,则f'(1)= (　 ) A.0 B.-1 C.-20 D.20 3.函数y=cos的导数为　　　 　　. 4.指出下列函数由哪些函数复合而成. (1)y=ln ;(2)y=esin x;(3)y=cos(x+1). 题型(一)　求复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数. (1)y=;(2)y=cos x2; (3)y=sin;(4)y=. 听课记录: 　　[思维建模]　求复合函数的导数的步骤 　　[针对训练] 1.求下列函数的导数: (1)y=(3x-2)2;(2)y=ln(6x+4); (3)y=. 题型(二)　复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=x; (3)y=xcossin. 听课记录: 　　[思维建模] (1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,开始由外及内逐层求导. 　　[针对训练] 2.求下列函数的导数: (1)y=e-x+2(2x+1)5; (2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1); (3)y=sin 2x+cos2x; (4)y=. 题型(三)　复合函数的导数在实际问题中的应用 [例3]　 一瓶汽水放入冰箱后,其摄氏温度x(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化满足关系:x=4+16e-2t. (1)求汽水温度x在t=1处的导数; (2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系:x=y-32.写出y关于t的函数解析式,并求y关于t的函数的导数. 听课记录: 　　[思维建模] 　　将复合函数的求导与导数的实际意义结合,旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 　　[针对训练] 3.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=s(t)=5-.求函数在t=1 s时的导数,并解释它的实际意义. 5.2.3　简单复合函数的导数 课前环节 1.y=f(g(x))　2.y'u·u'x [基点训练] 1.选A　由复合函数求导法则知A正确. 2.选D　因为f'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9,所以f'(1)=20. 3.解析:y'='=-sin(-3)=3sin. 答案:3sin 4.解:(1)y=ln 由y=ln u,u=复合而成. (2)y=esin x由y=eu,u=sin x复合而成. (3)y=cos(x+1)由y=cos u,u=x+1复合而成. 课堂环节 　[题型(一)] [例1]　解:(1)令u=1-3x,则y==u-4, 所以y'u=-4u-5,u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5=. (2)令u=x2,则y=cos u, 所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2xsin x2. (3)令u=2x-,则y=sin u, 所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. (4)令u=1+x2, 则y=,所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=. [针对训练] 1.解:(1)∵y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-2复合而成,∴y'x=y'u·u'x=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12. (2)∵y=ln(6x+4) ... ...