2.1 两角和与差的余弦公式及其应用 (教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,了解它们的内在联系. 3.掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用. 4.能利用两角和与差的余弦公式进行求值、计算. 两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的余弦 Cα+β cos(α+β)= α,β∈R 两角差的余弦 Cα-β cos(α-β)= α,β∈R |微|点|助|解| 两角和与差的余弦公式的结构特征 (1)公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合. 如cos中的,分别相当于公式中的角α,β. (2)cos(α-β)=cos α-cos β一般不成立,但在特殊情况下也可能成立, 例如:当α=0°,β=60°时,cos(0°-60°)=cos 0°-cos 60°. (3)要掌握公式的逆用,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α. 基础落实训练 1.cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°= ( ) A.-C.- 2.cos 75°= . 3.cos(x-y)cos y-sin(x-y)sin y= . 题型(一) 给角求值 [例1] 求下列各式的值: (1)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°; (2)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°; (3)cos 15°+sin 15°. 听课记录: |思|维|建|模| 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变形用公式. [针对训练] 1.若a=(cos 100°,sin 100°),b=(cos 10°,sin 10°),则a·b= ( ) A.cos 110°B.sin 110°C.1D.0 2.求值:(1)cos 105°= ; (2)coscos+cossin= . 题型(二) 给值(式)求值 [例2] 已知α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β的值. 听课记录: |思|维|建|模| 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换:①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β). [针对训练] 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= ( ) A.-3m B.- C. D.3m 4.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β)的值. 题型(三) 给值求角 [例3] 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值. 听课记录: [变式拓展] 把例题“cos(α-β)=,且0<β<α<”的条件换为“cos(α+β)=-,且α,β∈”,求β的值. |思|维|建|模| 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. [针对训练] 5.已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β的值. 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用 课前预知教材 cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β [基础落实训练] 1.B 2. 3.cos x 课堂题点研究 [题型(一)] [例1] 解:(1)原式=cos 63°cos 33°+sin 63°sin 33°=cos(63°-33°)=cos 30°=. (2)原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin 35° =-cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35° =-cos(25°+35°)=-cos 60°=-. (3)原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=. [针 ... ...
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