4.1 直线与平面平行(教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.掌握直线与平面平行的性质定理,并会应用线面平行的性质定理证明线线平行. 2.掌握直线与平面平行的判定定理,并会应用线面平行的判定定理证明线面平行. 1.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与 平行 符号语言 l∥a 图形语言 作用 证明两条直线平行 |微|点|助|解| (1)线面平行的性质定理可简记为“若线面平行,则线线平行”.“线线平行”是“线面平行”的必要条件. (2)线面平行的性质定理中有三个条件:l∥α,l β,α∩β=a.这三个条件缺一不可. (3)直线l平行于平面α,并非直线l和平面α内的所有直线都平行,直线l与平面α内的直线既可能平行,也可能异面,但绝不可能相交(不然直线l和平面α至少有一个交点,导致直线l和平面α相交或直线l在平面α内). 2.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与 ,那么该直线与此平面平行 符号语言 l∥α 图形语言 作用 证明直线与平面平行 |微|点|助|解| (1)线面平行的判定定理可简记为“若线线平行,则线面平行”.“线线平行”是“线面平行”的充分条件. (2)线面平行的判定定理中有三个条件:l α,a α,l∥a.这三个条件缺一不可. (3)要证明平面外的一条直线与此平面平行,关键是在此平面内找到一条直线与已知直线平行.通过直线间的平行,可以推证直线与平面平行,这是处理空间位置关系的一种常用方法,即把空间问题转化为平面问题. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l∥平面α,直线a 平面α,直线l与直线a一定平行. ( ) (2)直线a∥平面α,直线a 平面β,平面α∩平面β=直线b,则平面β有2个. ( ) (3)直线a∥平面α,直线a 平面β,平面α∩平面β=直线b,则a∥b. ( ) (4)如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行. ( ) (5)过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行. ( ) (6)如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行. ( ) 2.直线a∥平面α,α内有n条直线相交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有 ( ) A.0条 B.1条 C.0条或1条 D.无数条 3.(多选)若确定直线a与平面α平行,则必须同时具备的条件是 ( ) A.a α B.b∥α C.a∥b D.b α 题型(一) 直线与平面平行的性质定理及其应用 [例1] 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形. 听课记录: [变式拓展] 若本例条件不变,求证:=. 2.若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积. |思|维|建|模| 线面平行的性质和判定经常交替使用,也就是通过线线平行得到线面平行,再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤: (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面; (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面; (3)确定交线; (4)由性质定理得出线线平行的结论. [针对训练] 1.如图,四边形ABDC是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,M是AC的中点,BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于 ( ) A.4.5 B.5 C.5.4 D.5.5 2.如图,在三棱锥P-ABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点,若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,则的值为 ( ) A.1 B.2 C. 题型(二) 直线与平面平行的判定定理及其应用 [例2] 如图,正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ. 求证:PQ∥平面BCE. 听课记录: |思|维|建|模| 1.利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成 ... ...
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