5.1 直线与平面垂直(教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.从相关定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与平面的垂直关系. 2.归纳出直线与平面垂直的性质定理、判定定理,并能证明直线与平面的垂直关系. 3.了解直线与平面的夹角,会求直线与平面的夹角. 1.直线与平面垂直的定义及有关概念 定义 一般地,如果直线l与平面α内的 直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直 记法 有关 概念 直线l称为平面α的 ,平面α称为直线l的 ,它们唯一的公共点P称为 图示 性质 过一点有且只有一条直线与一个平面垂直,过一点有且只有一个平面与一条直线垂直 2.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 符号语言 图形语言 作用 线面垂直 线线平行,②作平行线 3.直线到平面的距离 如果一条直线与平面 ,那么这条直线上任意一点到 就是这条直线到这个平面的距离. 4.直线与平面的夹角的定义及有关概念 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α ,但不与这个平面 ,这条直线称为这个平面的斜线 斜足 斜线与平面的 称为斜足 投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面作 ,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影 直线与平面的夹角 定义 平面的一条斜线与它在平面上的 所成的锐角,叫作这条直线与这个平面的夹角 规定 一条直线垂直于平面,我们说它们的夹角是 ;一条直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是 范围 直线与平面的夹角θ的取值范围是 5.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 直线垂直,那么该直线与此平面 图形语言 符号语言 a α,b α,l⊥a,l⊥b, l⊥α |微|点|助|解| (1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”:①“一点”即两条直线的交点;②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线;③“一面”即两条相交直线所确定的平面,也是直线的垂面. (2)五大条件:该定理中有五个条件: l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=A,它们缺一不可. (3)两个线线垂直:定理中注意直线l与直线a,b都垂直,但要注意直线l与直线a,b的位置关系可能相交,也可能异面,即直线l可能经过交点A,也可能不经过交点A. (4)“两条相交直线”是定理中的关键,即直线a,b必须是平面α内的两条相交直线. 基础落实训练 1.若直线l⊥平面α,直线m α,则l与m不可能 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 2.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)垂直于同一条直线的两个平面平行. ( ) (2)直线上任意一点到这个平面的距离,就是这条直线到这个平面的距离. ( ) (3)到已知平面距离相等的两条直线平行. ( ) 3.如果一条直线垂直于一个平面内的: ①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边. 那么能保证该直线与平面垂直的是 ( ) A.①③ B.①② C.②④ D.①④ 4.若直线AB∥平面α,且点A到平面α的距离为2,则点B到平面α的距离为 . 题型(一) 直线与平面垂直的性质定理的应用 [例1] 如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中点,N是EC的中点. 求证:平面DMN∥平面ABC. 听课记录: |思|维|建|模| (1)若已知一条直线和某个平面垂直,证明这条直线和另一条直线平行, 可考虑利用线面垂直的性质定理,证明另一条直线和这个平面垂直. (2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质. [针对训练] 1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC.求证:EF∥BD1. 题型(二) 直线与平面垂直的判定定理的应用 [例2] 如图,直三棱 ... ...
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