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课件网) 线面位置关系的综合问题 (拓展融通课———习题讲评式教学) 5.2.2 课时目标 进一步理解直线与直线,直线与平面,平面与平面之间的位置关系,能灵活转换平行与垂直关系解决线面位置关系,掌握线面位置关系中的翻折与探索性问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 线面位置关系的综合问题 题型(二) 翻折问题 题型(三) 空间几何体中的探索性问题 4 课时跟踪检测 题型(一) 线面位置关系的综合问题 01 [例1] 如图,矩形ABCD所在平面与以BC为直径 的圆所在平面垂直,O为BC中点,M是圆周上一点, 且∠CBM=30°,AB=1,BC=2. (1)求异面直线AO与CM夹角的余弦值; 解:取AD中点N,连接CN,MN,OM,ON,如图.因为四边形ABCD为矩形, O,N分别为BC,AD中点,所以AO∥CN,所以 ∠MCN(或其补角)就是异面直线AO与CM 的夹角.因为平面ABCD⊥平面BCM,平面 ABCD∩平面BCM=BC,在矩形ABCD中, NO⊥BC,NO 平面ABCD,所以NO⊥平面BCM.又OM 平面BCM, 所以NO⊥OM.在Rt△MON中,∠MON=90°,OM=NO=1, 所以MN=.又M是圆周上一点,且∠CBM=30°,所以CM=1. 在△MCN中,CN=,由余弦定理的推论可得cos∠MCN==, 所以异面直线AO与CM夹角的余弦值为. (2)设点P是线段AM上的点,且满足AP=λPM,若直线CM∥平面BPD,求实数λ的值. 解:如图,连接PB,PD,连接BD交AC于点Q,连接PQ. 因为直线CM∥平面BPD,直线CM 平面ACM, 平面BPD∩平面ACM=PQ, 所以CM∥PQ. 因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点,所以PQ为△AMC的中位线,所以P为AM中点,AP=PM.又AP=λPM,所以λ的值为1. |思|维|建|模| 在应用线面平行、垂直的判定定理和性质定理证明有关问题时,除了运用转化思想,还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件. 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱 PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证:AB∥EF; 证明:因为四边形ABCD是矩形, 所以AB∥CD. 又AB 平面PDC,CD 平面PDC, 所以AB∥平面PDC. 又AB 平面ABE,平面ABE∩平面PDC=EF,所以AB∥EF. 针对训练 (2)若AF⊥EF,求证:平面PAD⊥平面ABCD. 证明:因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF,(1)中已证AB∥EF,所以AB⊥AF. 由点E在棱PC上(异于点C),所以点F异于点D. 又AF∩AD=A,AF,AD 平面PAD. 所以AB⊥平面PAD. 又AB 平面ABCD, 所以平面PAD⊥平面ABCD. 题型(二) 翻折问题 02 [例2] 在矩形ABCD中,AB=4,AD=2.点E,F分别在AB,CD上,且AE=2, CF=1.沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD',点A' 平面BCFE. (1)求证:CD'∥平面A'EB; 解:证明:因为D'F∥A'E,D'F 平面A'EB,A'E 平面A'EB,所以D'F∥平面A'EB.因为FC∥EB,FC 平面A'EB,EB 平面A'EB,所以FC∥平面A'EB.又因为FC∩D'F=F,所以平面D'FC∥平面A'EB.因为CD' 平面D'FC,所以CD'∥平面A'EB. (2)求异面直线EF与BD'所成的角; 解:延长EF,BC交于点G,EF∩DB=H,FC∥EB且FC=EB,则BG=2BC=4, EB=DA,BG=AB,∠EBG=∠DAB=90°,则△EBG≌△DAB, 故∠GEB=∠BDA,又∠BDA+∠DBA=90°,故∠GEB+∠DBA=90°, 则∠EHB=90°,即EF⊥DB,从而EF⊥D'H, EF⊥HB,又D'H∩HB=H,D'H,HB 平面D'HB, 所以EF⊥平面D'HB,又BD' 平面D'HB, 则EF⊥BD',所以异面直线EF与BD'所成的角为90°. |思|维|建|模| 翻折问题是高考的一个重要命题点,题目比较灵活,主要考查逻辑推理与直观想象等核心素养,如2024新课标Ⅱ卷T17,以几何体的翻折为背景考查线线垂直及二面角.解决翻折问题要重视转化思想,关键在于掌握以下两个解题策略. 确定翻折前后的“变与不变”量 画好翻折前后的平面图形与立体图形,分清翻折前后图形的位置和数量关系的“变与不变”量.一般地,位于“拆痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于“拆痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化,对于不变的关系应 ... ...
