第2课时 组合的综合应用(深化课题型研究式教学) 课时目标 1.进一步加深对组合概念的理解.掌握几种有限制条件的排列,能应用组合数公式解决简单的实际问题. 2.正确识别排列组合中的分组、分配问题,与几何图形有关的组合问题. 题型(一) 有限制条件的组合问题 [例1] 某班共有团员14人,其中男团员8人,女团员6人,并且男、女团员各有一名组长,现从中选6人参加学校的团员座谈会.(用数字作答) (1)若至少有1名组长当选,求不同的选法总数; (2)若至多有3名女团员当选,求不同的选法总数. 听课记录: [变式拓展] 本例条件不变,若既要有组长当选,又要有女团员当选,求不同的选法总数. [思维建模] 有限制条件的组合问题的解题策略 有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类: 一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数; 二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种思路:一是直接分类法,要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏. [针对训练] 1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务活动,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为 ( ) A.24 B.14 C.28 D.48 2.(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答). 题型(二) 与几何有关的组合问题 [例2] 平面上有9个点,其中有4个点共线,除此外无3点共线. (1)这9个点,可确定多少条不同的直线 (2)以这9个点中的3个点为顶点,可以确定多少个三角形 (3)以这9个点中的4个点为顶点,可以确定多少个四边形 听课记录: [思维建模] 解答几何图形组合问题的策略 (1)解决几何图形中的组合问题,首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题,其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,寻找一个组合的模型加以处理. (2)图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法. [针对训练] 3.(1)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体 (2)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥 题型(三) 分组、分配问题 [例3] 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛,该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛,且每个学科至少有一名学生参加. (1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案 (2)若甲同学主攻数学方向,必须选择数学竞赛,乙同学主攻物理方向,必须选择物理竞赛,则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案 听课记录: [思维建模] 分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 求解策略 整体 均分 解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以(n为均分的组数),避免重复计数 部分 均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 不等 分组 只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数 [针对训练] 4.现有6名孩子和3个不同的房间,并让孩子都进入房间. (1)若每个房间进2个小孩,共有多少种不同的方法 (2)恰有一个房间没有孩子,共有多少种安排方法 第2课时 组合的综合应用 [题型(一)] [例1] 解:(1)法一 至少有一名组长含有两种情况: 有一名组长和两名组长,故共有+=2 079种. 法二 至少有一名组长可以采用排除法,有-=2 079种. (2)至多有3名女团员含有四种情况:有3名女团员,有2名女团员,有1名女团员,没有女团员,故共有+++=2 534种. [变式拓展] 解:既要有组长当选,又要有女团员当选含两类情况: 第 ... ...
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