6.3.1 二项式定理(强基课梯度进阶式教学) 课时目标 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.二项式定理 二项式 定理 (a+b)n= (n∈N*) 二项展开式 右边的多项式 二项式系数 各项的系数 二项展开 式的通项 Tk+1= 微点助解 (1)二项展开式共有n+1项,各项中a,b的指数和都是n. (2)a按降幂排列,指数由n逐项减1直到0;b按升幂排列,指数由0逐项加1直到n. (3)对于任意的a,b,该等式都成立. 2.二项式系数和项的系数的区别 (1)二项展开式中的二项式系数是指,,…,这些组合数,与a,b无关. (2)展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数,与a,b有关,项的系数未必是正数. 3.二项式定理的三种常见变形 ①(a-b)n=anb0+(-1)1an-1b1+an-2b2+…+(-1)ran-rbr+…+(-1)na0bn. ②(1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn. ③(1-x)n=+(-1)1x+x2+…+(-1)rxr+…+(-1)nxn. [基点训练] 1.若(2x-3)n+3的展开式中共有15项,则自然数n的值为 ( ) A.11 B.12 C.13 D.14 2.展开式中的常数项为 ( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40 3.(1+2x)5的展开式的第三项的系数为 ,第三项的二项式系数为 . 题型(一) 二项式定理的正用、逆用 [例1] (1)求的展开式. (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 听课记录: [思维建模] 运用二项式定理的解题策略 (1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子,需先化简再用二项式定理展开. (2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. [注意] 逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的,则结果是(a-b)n的形式. [针对训练] 1.若(1+)4=a+b(a,b均为有理数),则a+b= ( ) A.33 B.29 C.23 D.19 2.已知0
