8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及其应用(概念课逐点理清式教学) 课时目标 1.了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,建立一元线性回归模型进行预测. 2.了解随机误差、残差、残差图的概念. 3.会通过残差分析一元线性回归模型的拟合效果. 逐点清(一) 一元线性回归模型 [多维度理解] 我们称为Y关于x的 模型.其中,Y称为 或 ,x称为 或 ;a和b为模型的未知参数,a称为 参数,b称为 参数;e是Y与bx+a之间的 . [细微点练明] 1.[多选]在线性回归模型Y=bx+a+e中,下列说法不正确的是 ( ) A.Y=bx+a+e是一次函数 B.响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C.响应变量Y除了受解释变量x的影响外,可能还受到其他因素的影响,这些因素会导致随机误差e的产生 D.随机误差e是由于计算不准确造成的,可通过精确计算避免随机误差e的产生 2.某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5,如果今年该地区财政收入10亿元,则今年支出预计不会超过 亿. 3.判断下列变量间哪些能用函数模型刻画,哪些能用回归模型刻画 (1)某公司的销售收入和广告支出; (2)某城市写字楼的出租率和每平方米月租金; (3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率; (4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP); (5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间; (6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间; (7)正方形的面积与周长. 逐点清(二) 最小二乘法和经验回归方程 [多维度理解] 我们将=x+称为Y关于x的 ,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为 .这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估计,其中 微点助解 (1)经验回归直线过点(,). (2)经验回归直线的截距和斜率都是通过样本估计而得的,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差. (3)经验回归方程=+x中的表示x增加1个单位时,y的平均变化量为,而表示y不随x的变化而变化的部分. [细微点练明] 1.某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温,并制作了对照表: 气温x/℃ 18 13 10 -1 用电量y/度 24 34 38 64 由表中数据得到经验回归方程=-2x+,则当气温为-3 ℃时,预测用电量为 ( ) A.68度 B.66度 C.28度 D.12度 2.若根据变量x与y的对应关系(如表),求得y关于x的经验回归方程为=6.5x+17.5,则表中m的值为 ( ) x 2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 A.60 B.55 C.50 D.45 3.某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如表所示. 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 储蓄存款额 y/千亿元 5 6 7 8 10 为了计算方便,工作人员将上表的数据进行了处理,令t=x-2 018,z=y-5,得到下表. t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)作z关于t的散点图,求z关于t的经验回归方程; (2)通过(1)中的方程,求出y关于x的回归方程. 逐点清(三) 线性回归分析 [多维度理解] 1.残差与残差分析 (1)对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的称为预测值,观测值减去预测值所得到的差称为 .残差是随机误差的估计结果,通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为 . (2)残差图中,若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,带状区域 ,则说明拟合效果越好. 微点助解 在使用经验回归方程进行预测时,需要注意的问题: (1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体. (2)所建立的经验回归方程一般都有时效性. (3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一 ... ...
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