第2课时 一元线性回归模型的综合问题 (深化课题型研究式教学) 课时目标 进一步学习一元线性回归分析,能用拟合效果分析非线性回归问题,掌握非线性回归模型的求解过程. 题型(一) 经验回归方程 [例1] 一台还可以用的机器由于使用的时间较长,按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷,每小时生产有缺陷零件的数量随机器转速的变化而变化,下表为抽样试验结果: 转速x/(转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有缺陷零件的数量y/个 11 9 8 5 (1)画出散点图; (2)如果变量x和y线性相关,求y关于x的经验回归方程=x+; (3)若实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多有10个,机器的转速应控制在什么范围内 听课记录: [思维建模] 求经验回归方程的步骤 (1)计算平均数，. (2)计算xi与yi的积，求xiyi. (3)计算x. (4)将结果代入公式＝求. (5)用=-,求. (6)写出经验回归方程. [针对训练] 1.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,2023年12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数如下表所示: 日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案如下:先从这5组数据中选取2组,用剩下的3组数据求经验回归方程,再用被选取的2组数据进行检验. (1)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据求y关于x的经验回归方程=x+; (2)若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差的绝对值不超过2,则认为得到的经验回归方程是可靠的,问(1)中所得到的经验回归方程是否可靠 (3)请预测温差为14 ℃时的发芽率. 题型(二) 线性回归分析 [例2] 为研究物体质量x(单位:g)对弹簧长度y(单位:cm)的影响,对不同质量的6个物体进行测量,数据如表所示: x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图,并求经验回归方程; (2)求出R2; (3)进行残差分析. 听课记录: [思维建模] 对回归模型进行回归分析的方法 (1)残差平方和越小,模型的拟合效果越好. (2)决定系数R2越大,说明模型的拟合效果越好. 需要注意的是:若题中给出了检验回归方程是否理想的条件,则根据题意进行分析检验即可. [针对训练] 2.关于x与y有以下数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知x与y线性相关,由最小二乘法得=6.5, (1)求y与x的经验回归方程; (2)现有第二个线性模型:=7x+17,且R2=0.82. 若与(1)的线性模型比较,哪一个线性模型拟合效果比较好,请说明理由. 题型(三) 非线性回归分析 [例3] 某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满足函数关系,模型为y=aebx,确定这个函数解析式. 月份x/月 1 2 3 4 5 6 人数y/人 52 61 68 74 78 83 听课记录: [思维建模] 解决非线性回归问题的步骤 [针对训练] 3.某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y(单位:十)表示每天使用扫码支付的人次,统计数据如下表所示: x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据,绘制了如下散点图. (1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个更适合作为每天使用扫码支付的人次y关于活动推出的天数x的回归方程类型(给出判断结果即可,不必说明理由); (2)根据(1)中的判断结果及表中的数据,求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天时使用扫码支付的人次. 参考数据: xivi 100.54 62.14 1.54 50.12 3.47 其中vi＝lg yi，＝vi. 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)， ... ...
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