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课件网) 1.2.3 直线与平面的夹角 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第1章 空间向量 日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象。 例如，在握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度。 那么，怎样来刻画直线与平面所成的角呢？ l m 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角， 称为这条斜线与平面所成的角。 一、直线与平面的夹角 l A1 A B 若直线与平面垂直，则直线与平面所成角为90°； 若直线与平面平行，或直线在平面内，则直线与平面所成角为0°. 直线与平面所成角范围：[0°，90°] M O A A1 θ1 θ2 θ 易知ΔAA1O，ΔAA1M，ΔA1OM，ΔAMO都是直角三角形. 设OA=1，则在RtΔAA1O中，OA1=OAcosθ1=cosθ1 在RtΔA1OM中，OM=OA1cosθ2=cosθ1cosθ2 在RtΔAMO中，OM=OAcosθ=cosθ 所以，cosθ=cosθ1cosθ2， 所以，cosθ≤cosθ1， 因为θ与θ1都是锐角，所以θ≥θ1 这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。 【典型例题一】 C A P M B 如何用空间向量求两条直线的夹角？ 两条直线l1，l2夹角的范围： 如何用空间向量求直线与平面的夹角？ l l l l 如何用空间向量求直线与平面的夹角？ l l 二、用空间向量求直线与平面的夹角 l l A B A B 【典型例题二】 例2. 已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，求B1D1与平面A1BCD1所成角的大小. 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 【典型例题二】 练习. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求直线CD与平面MCA1所成角的正弦值。 【典型例题二】 解：因为AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, 所以M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2)，D(0,0,0). 设n=(x,y,z)是平面MCA1的法向量， 取z =3, 则x=2, y=3，则n=(2,3,3) 当堂练习 × × 当堂练习 A 当堂练习 课堂小结
