(
课件网) 1.2.2 空间中的平面与空间向量 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第1章 空间向量 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢 我们已经知道，空间中的直线，根据它的方向向量和一个点，可以描述这条直线的位置。那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？ 尝试与发现 根据共面向量基本定理，同一个平面内的所有向量都可以用两个不共线的向量来表示. 这两个不共线的向量也称作一组基底. 因此有同学提出，可以用基底来表示一个平面. 这种方法的缺点就是需要两个向量. 那么能不能类似于直线的方向向量，只用一个向量来表示平面呢？ 一、平面的法向量 n l 一、平面的法向量 n l 法向量的性质： n//v n v n v l l n⊥v n1⊥n2 n1 n2 n2 n1//n2 n1 【典型例题一】 例1. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B与A1C1的中点，求证：MN//平面ADD1A1. B C D A M B1 A1 D1 C1 x y z N 【平面法向量的求法】 法一：观察法 在立体图形中直接观察与平面垂直的直线. B C D A B1 A1 D1 C1 【典型例题二】 例2. 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中，O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量。 O A B C x y z 【典型例题二】 例2. 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中，O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量。 O A B C x y z 【典型例题二】 练习1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 (1)求直线CD的方向向量； (2)求平面BCC1B1的法向量； (3)求平面MCA1的法向量。 【典型例题二】 练习1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 (1)求直线CD的方向向量； (2)求平面BCC1B1的法向量； (3)求平面MCA1的法向量。 (2)解：因为y轴垂直于平面BCC1B1， 所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. 【典型例题二】 (3)求平面MCA1的法向量。 解：因为AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, 所以M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2). 设n=(x,y,z)是平面MCA1的法向量， 取z =3, 则x=2, y=3. A A1 B l (1)求证：当l⊥A1B时，l⊥AB； A A1 B l (2)求证：当l⊥AB时，l⊥A1B； A A1 B l 二、三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. A A1 B l 【典型例题三】 例3. 如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体，求证：A1D⊥BD1. 证明：连接AD1， 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体， 所以AB⊥平面ADD1A1， 所以BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1 又因为ADD1A1是正方形， 所以A1D⊥AD1， 因此根据三垂线定理可知，A1D⊥BD1 A B C D O A1 D1 C1 B1 【典型例题三】 例4. 如图所示的三棱锥O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为ΔCAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB. O A B C D 当堂练习 1.若A(-1,0,1)，B(1,4,7)两点都在直线上，则直线l的一个方向向量为( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) A 当堂练习 2. ... ...
