11.1　第2课时　余弦定理的应用（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）必修 第二册

第2课时　余弦定理的应用(教学方式:拓展融通课———习题讲评式教学) 　　　[课时目标]　进一步学习余弦定理,能利用余弦定理解决实际应用问题及在平面几何中的应用. 题型(一)　余弦定理的实际应用 [例1]　一艘轮船按照北偏东40°方向,以18海里/时的速度直线航行,一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上,经过20分钟的航行,轮船与灯塔的距离为6海里,则灯塔与轮船原来的距离为 (　　) A.6海里 B.12海里 C.6海里或12海里 D.6 海里 听课记录: 　　|思|维|建|模| 余弦定理在解决实际问题中的策略 首先分析此题属于哪种类型的问题(如:测量距离、高度、角度等),然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求. 　　[针对训练] 1.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200 m,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,则塔高AB=　　　. 题型(二)　利用余弦定理证明恒等式 [例2]　如图,已知 ABCD,求证:AC2+BD2=2(AB2+AD2). 听课记录: 　　|思|维|建|模| (1)利用余弦定理的前提是必须在三角形中,在四边形中如何选择有用的三角形是关键; (2)任何一个三角形都不可能包含四边,因此必须选择两个三角形; (3)几何证明的关键是把有关量放到三角形中,借助余弦定理建立它们的关系,从而达到证明的效果,其中构造合适的三角形是关键. 　　[针对训练] 2.在△ABC中,求证:b2+c2=abcos C+accos B+2bccos A. 题型(三)　余弦定理与平面图形结合 [例3]　在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1. (1)若AB=,求BC; (2)若AB=2BC,求cos∠BDC. 听课记录: |思|维|建|模| 解三角形广泛应用于解各种平面图形,解题时可将问题纳入三角形中去解决,理清已知条件与待求问题,再根据余弦定理建立未知量与已知量的关系式来求. 　　[针对训练] 3.如图,在△ABC中,AB=2,A=60°,点F为AB的中点,且CF2=AC·BC.求AC的长. 第2课时　余弦定理的应用 [例1]　选A　如图,设轮船原来在A处,航行20分钟后到达B处,C为灯塔的位置,根据条件可得∠BAC=120°,AB=18×=6(海里),BC=6 海里, 由余弦定理可得cos 120°===-, 解得AC=6(AC=-12舍去). 故灯塔与轮船原来的距离为6海里. [针对训练] 1.解析:在Rt△ABC中,∠ACB=45°, 若设AB=h,则BC=h; 在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD= h. 在△BCD中,由余弦定理可得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD, 即2002=h2+(h)2-2h·h·, 所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去), 即塔高AB=200 m. 答案:200 [例2]　证明:设∠ABC=α,∠BCD=π-α.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos α　①. 在△BCD中,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cos(π-α)　②. 又cos(π-α)=-cos α,CD=AB,BC=AD,将①②两式相加,得AC2+BD2=2(AB2+AD2). [针对训练] 2.证明:法一　右边=ab·+ac·+2bc·=++b2+c2-a2=b2+c2=左边,所以等式成立. 法二　=+ ·(+)=(+)2 ·+·=+2·+ accos B+abcos C= c2+b2-2bccos A b2+c2=abcos C+accos B+2bccos A. [例3]　解:(1)在△ABD中,根据余弦定理可得,cos A===,由题得A=∠ABD=∠BDC, 所以cos∠BDC=cos A=. 在△BCD中,根据余弦定理可得, BC2=BD2+CD2-2·BD·CD·cos∠BDC=1+1-2×=,所以BC=. (2)设AB=2BC=2a,在△ABD中,根据余弦定理可得, cos A===a. 在△BCD中,根据余弦定理可得,cos∠BDC===,所以=a,解得a=-1或a=--1(舍去),则cos∠BDC=cos A=a=-1. [针对训练] 3.解:在△ACF中,AF=AB=1,A=60°, 由余弦定理得CF2=AC2+AF2-2AC·AF·cos A=AC2+1-AC. 在△ABC中,由余弦定理得CB2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A=AC2+4-2AC. 因为CF2=AC·BC,所以AC2+1-AC =AC,整理得AC2+2 ... ...