板块综合 空间点、线、面位置关系(阶段小结课———习题讲评式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 (1)通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化,提升逻辑推理和直观想象素养. (2)通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化,提升直观想象和逻辑推理素养. 2.渗透的数学思想 (1)在判断空间几何体的点、线、面的位置关系,直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的证明中,根据图形运算求解或证明体现了数形结合的思想. (2)在本章中化归思想无处不在,如“要证线面平行,先证线线平行” “要证面面平行,先证线面平行” “要证线面垂直,先证线线垂直” “要证面面垂直,先证线面垂直”等,都体现了转化与化归思想. 题型(一) 立体几何中的交线、截面问题 [例1] (1)在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体中过M,N,C1的截面图形是 ( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 (2)已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 . |思|维|建|模| 利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键 (1)作截面应遵循的三个原则:①在同一平面上的两点可引直线;②凡是相交的直线都要画出它们的交点;③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种:①利用基本事实3作交线;②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行,然后根据性质作出交线. [针对训练] 1.在正方体ABCD A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面α经过直线BD且与直线C1E平行,若正方体的棱长为2,则平面α截正方体所得的多边形的面积为 . 2.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3,E,F分别为BC,CD的中点,P是线段A1B上的动点,C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为 . 题型(二) 空间中垂直与平行的综合问题 [例2] 如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是正方形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,G,H分别是CE,CF的中点. (1)求证:AC⊥平面BDEF; (2)求证:平面BDGH∥平面AEF. 听课记录: |思|维|建|模| 平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决.注意遵循“空间”到“平面”、“低维”到“高维”的转化关系. [针对训练] 3.如图,在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点. (1)求证:B1D1∥平面A1BD; (2)求证:MD⊥AC; (3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. 题型(三) 几何法求空间角 [例3] 如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,异面直线PB与CD的夹角为45°. (1)求二面角B PC D的大小; (2)求直线PB与平面PCD夹角的大小. 听课记录: |思|维|建|模| 1.求线面角的三个步骤 一作(找)角,二证明,三计算,其中作(找)角是关键,先找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,然后把线面角转化到三角形中求解. 2.作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法,也可以用垂面法,即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角. [针对训练] 4.(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 板块综合 空间点、线、面位置关系 [例1] 解析:(1)先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点,再确定截面与几何体的棱的交点. 设直线C1M,CD相交于点P,直线C1N,CB相交于点Q,连接PQ交直线AD于点E,交直线AB于点F,则五边形C1MEFN为所求截面图形. (2)如图,设B1C1的中点为E,球面与棱BB1,CC1的交点分别为P,Q,连接DB,D1B1,D ... ...
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