2.2 直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系 [教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学] [课时目标] 掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 1.直线与圆的三种位置关系及判定 位置关系 相离 相切 相交 图形 几何法 d与r的 大小 d r d r d r 代数法 依据方程组 解的情况 Δ<0 方程组 Δ=0 方程组 Δ>0 方程组有 两组不同 的解 2.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. ( ) (2)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切. ( ) (3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. ( ) (4)过圆外一点的直线与圆相离. ( ) 2.直线x-y+3=0被圆x2+y2+2x-4y=0所截得的弦长为 ( ) A. B.2 C.5 D.10 3.若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相离,则点P(a,b)与圆O的位置关系为 ( ) A.点P在圆O内 B.点P在圆O上 C.点P在圆O外 D.无法确定 4.已知圆C:x2+y2=25与直线l:3x-4y+m=0(m>0)相切,则m= ( ) A.15 B.5 C.20 D.25 题型(一) 直线与圆位置关系的判断 [例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 听课记录: |思|维|建|模| 根据直线与圆的位置关系求参数的方法 代数法 (判别式法) 将直线与圆的位置关系转化为一元二次方程根的个数问题,利用判别式得到关于参数的方程或不等式,通过解方程或不等式求解 几何法 由直线与圆的位置关系得到圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系,从而列方程或不等式求解 [针对训练] 1.直线ax+y-a=0(a∈R)与圆x2-4x+y2=0的位置关系是 ( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 2.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-3,1) B.(1,3) C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 题型(二) 圆的弦长问题 [例2] 求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长. 听课记录: |思|维|建|模| 求弦长常用的三种方法 (1)几何法:利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题. (2)交点坐标法:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长. (3)公式法:设直线y=kx+b,与圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|=. [针对训练] 3.直线l:x-y+3=0被圆C:x2+(y-1)2=4截得的弦长为 ( ) A. B.2 C. D.2 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 . 题型(三) 圆的切线问题 [例3] 已知点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.求过点M的圆C的切线方程. 听课记录: [变式拓展] 1.若本例条件不变,求过点M的圆C的切线长. 2.若本例条件点“M(3,1)”改为“M(+1,2-)”,求过点M的圆C的切线方程. |思|维|建|模| 过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法 几何法 设出切线的方程,利用圆心到切线的距离等于半径,求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出其切线方程 代数法 设出切线的方程后与圆的方程联立消元,利用Δ=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接写出其切线的方程 ... ...
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