6.1.2 向量的加法 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 导语 我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律，乘法交换律、分配律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用. 一、向量加法的三角形法则 问题1 某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 提示 这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和. 问题2 请结合课本例1，探索一下|a+b|与|a|，|b|之间的关系？ 提示 (1)当向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b方向不同，且|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向时，a+b，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 知识梳理 1.一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作a+b，因此+=.当a与b不共线时，求它们的和可用图表示，此时a，b，a+b正好能构成一个三角形，所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则. 2.对任意向量a，有a+0=0+a=a. 3.向量a，b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 注意点： 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，连首尾”. 例1 (1)如图所示， ①a+b= ； ②c+d= ； ③a+b+d= ； ④c+d+e= . 答案 ①c ②f ③f ④g (2)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为 ， . 答案 20 4 解析 当a，b共线且同向时， |a+b|=|a|+|b|=8+12=20， 当a，b共线且反向时，|a+b|=||a|-|b||=4. 当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，即4<|a+b|<20， 综上可知，4≤|a+b|≤20，所以最大值为20，最小值为4. 例1 (2)(课本例1)已知|a|=3，|b|=4，求|a+b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系. 解 由|a+b|≤|a|+|b|可知，|a+b|的最大值为|a|+|b|=3+4=7， 当且仅当a与b方向相同时取得最大值. 由|a+b|≥||a|-|b||可知，|a+b|的最小值为||a|-|b||=|3-4|=1， 当且仅当a与b方向相反时取得最小值. 反思感悟 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即++……+=. 跟踪训练1 (1)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)： ①+= ； ②+= . 答案 ① ② 解析 如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知 +=+=， +=+=. (2)若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则( ) A.a∥b，且a与b方向相同 B.a，b是方向相反的向量 C.a=-b D.a，b无论什么关系均可 答案 A 解析 由向量加法的几何意义可知，若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有a∥b，且a与b方向相同，A正确；若a，b是方向相反的向量，则|a+b|=||a|-|b||，B错误；若a=-b，则a+b=0，|a+b|=0，C错误；若a，b为任意非零向量，有|a+b|≤|a|+|b|，D错误. 二、向量加法的平行四边形法则 问题3 图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO ... ...
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