高中数学人教B版必修第二册 6.1.4　数乘向量6.1.5　向量的线性运算（课件+学案）

(课件网) 6.1.4　数乘向量 6.1.5　向量的线性运算 第六章　§6.1　平面向量及其线性运算 <<< 1.理解向量的数乘运算及其几何意义. 2.会利用向量共线判断三点共线及线线平行. 学习目标 实数的运算中，3个5相加，我们可以写成5+5+5，也可以用乘法表示成5×3；3个a相加，我们可以写成a+a+a，也可以用乘法表示成3a；在向量的运算中，3个a相加，我们可以写成a+a+a，能不能写成3a？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算. 导 语 一、数乘向量 二、向量的线性运算 课时对点练 三、用已知向量表示其他向量 随堂演练 内容索引 四、三点共线问题 数乘向量 一 提示　=++=a+a+a=3a. =++=(-a)+(-a)+(-a)=-3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍. 如图，已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+ (-a)+(-a).类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 问题1 1.定义：一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是 ，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为 ，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向 ； ②当λ<0时，与a的方向 . (2)当λ=0或a=0时，λa= . 一个向量 |λ||a| 相同 相反 0 2.数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或反方向 . 3.当λ和μ都是实数，且a是向量时：μa是向量，λ(μa)也是向量；λμ是实数，但(λμ)a是向量，可以看出λ(μa)=(λμ)a. 放大或缩小 (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意λ=0时，λa=0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ+a，λ-a是无法运算的. 注 意 点 <<< 　 (1)已知λ∈R，则下列结论正确的是 A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a C.|λa|=|λ|·|a| D.|λa|>0 例 1 √ 当λ<0时，|λa|=λ|a|不成立，A错误； |λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误； 当λ=0或a=0时，|λa|=0，D错误. 解析 (2)已知点C在线段AB上，且=，则=　　　 ，=　　　 . 因为C在线段AB上，且=， 所以与方向相同，与方向相反， 且=，=， 所以=，=-. 解析 - 　 (2)(课本例1)已知a=3e，b=-2e，其中e为非零向量，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|的值. 例 1 由b=-2e得e=-b， 代入a=3e得a=-b. 因此a∥b，且|a|=|b|，即|a|∶|b|=. 解 对于数乘运算，要认识到任意实数λ与任意向量a的乘积λa仍是向量，要明确两向量的关系，应从两方面入手，一是方向，二是大小. 反 思 感 悟 　(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是 A.-2a与a是共线向量，且-2a的模是a的模的两倍 B.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量 跟踪训练 1 √ √ √ A中，∵-2<0， ∴-2a与a方向相反，两向量共线， 又|-2a|=2|a|，∴A正确； B中，∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|=3|a|， ∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|， ∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的，∴B正确； C中，按照相反向量的定义可以判断C正确； D中，∵-(b-a)=-b+a=a-b， ∴a-b与-(b-a)为相等的向量，∴D不正确. 解析 二 向量的线性运算 1.一般地，对于实数λ与μ，以及向量a与b，有 ①λa+μa=(λ+μ)a； ②λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的线性运算 向量的 、 、 以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算. 加法 减法 数乘向量 (课本例2)化简下列各式： (1)2(a+b)-2(a-b)； 例 2 原式=2a+2b-2a+2b=2a-2a+2b+2b=4b. 解 (2)-(a+b-c)+2(a-b+c)； 原式=-a-b+c+2a-2b+2c=a-3b+3c. 解 (3)2a-×3b+×4a； 原式=2a-b+2a=4a ... ...