学习目标 1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题. 导语 在研究函数问题的过程中，我们经常遇到同底数的指数函数和对数函数，例如函数y=2x与y=log2x，它们究竟有着怎样的关系呢？今天我们从它们的图象、性质等方面一起去探讨这一类函数. 一、反函数的概念 问题1 在同一平面直角坐标系内，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系. 提示 知识梳理 反函数的概念 (1)一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x)存在反函数. (2)反函数的记法：函数y=f(x)的反函数记作y=f -1(x). 注意点： 同底的指数函数与对数函数互为反函数. 例1 (课本例1)分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数. (1) x 1 2 3 4 5 f(x) 0 0 1 3 5 (2) x 1 2 3 4 5 g(x) -1 0 1 -2 5 解 (1)因为f(x)=0时，x=1或x=2，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在. (2)因为对g(x)的值域{-1，0，1，-2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，所以g(x)的反函数g-1(x)存在，而且反函数可以表示如下. x -2 -1 0 1 5 g-1(x) 4 1 2 3 5 例1 判定下列函数是否存在反函数. (1) x 1 2 3 4 5 f(x) 2 3 4 5 6 (2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A，B，C. 解 (1)因为对f(x)的值域{2，3，4，5，6}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此f(x)的反函数 f -1(x)存在. (2)由图可知函数y=f(x)的定义域为{-1，1，2}，值域为{-1，1，-2}，且对值域中的任意一个值，在定义域中都有唯一的x值与之对应，所以y=f(x)存在反函数. 反思感悟 判定存在反函数的方法 (1)用定义：若函数y=f(x)值域中任意一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在. (2)用单调性：若函数y=f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在. 二、求反函数 问题2 函数y=2x+1，你能用y表示x吗？你能把函数解析式y=中的x和y互换吗？ 提示 x+1=log2y，x=-1+log2y；x=. 例2 (课本例2)判断f(x)=2x+2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f -1(x)的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f(x)与f -1(x)的函数图象. 解 因为f(x)=2x+2是增函数，所以任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数. 令y=2x+2，对调其中的x和y得x=2y+2，解得y=x-1，因此f -1(x)=x-1. f(x)与f -1(x)的函数图象如图所示. 例2 求下列函数的反函数： (1)f(x)=log2x； (2)f(x)=； (3)f(x)=5x+1. 解 (1)令y=log2x，得x=2y且y∈R， ∴f -1(x)=2x，x∈R. (2)令y=，得x=loy且y>0， ∴f -1(x)=lox，x>0. (3)令y=5x+1，得x=且y∈R， ∴f -1(x)=，x∈R. 反思感悟 (1)求反函数时，要先确定原函数的值域. (2)求反函数解析式的两种方法： ①可以通过对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(y)中求出y，得到反函数y= f -1(x). ②从y=f(x)反解得到x= f -1(y)，然后把x= f -1(y)中的x，y对调得到y= f -1(x). (3)最后要注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数： (1)f(x)=+1(x≥0)； (2)f(x)=(x≠1). 解 (1)令y=+1，x≥0， ∴y≥1且x=(y-1)2. ∴f(x)=+1(x≥0)的反函数为 f -1(x)=(x-1)2， x∈[1，+∞). (2)令y==， ∴y=2+. ∴y≠2且x=. ∴f(x)=(x≠1)的反函数为f -1(x)=，x∈(-∞，2)∪(2，+∞). 三、互为反函数的图象与性质的应用 问题3 函数y=2x的定义域和值域与y=log2x的定义域和值域关系如何？ 提示 y=2x的定义域与y=log2x的值域相同，y=2x的值域与y=log2x的定义域相同. 知识梳理 1. ... ...
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