欧拉公式及应用 欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”. 【例】 （1）欧拉公式ei θ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（ ） A. B.－ C.1 D.－1 （2）（多选）欧拉公式exi＝cos x＋isin x（其中i为虚数单位，x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A.复数e2i对应的点位于第三象限 B.为纯虚数 C.复数的模等于 D.的共轭复数为－i 【迁移应用】 1.（2024·济南月考）欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ（e＝2.718 28…），被誉为数学上优美的数学公式.已知＝＋i，则θ＝（ ） A.＋2kπ（k∈Z） B.＋2kπ（k∈Z） C.＋kπ（k∈Z） D.＋kπ（k∈Z） 2.（多选）公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ） A.eiπ＋1＝0 B.（＋i）2 025＝－1 C.｜eix＋e－ix｜≤2 D.－2≤eix－e－ix≤2 拓视野 欧拉公式及应用 【例】 （1）B （2）BC 解析：（1）由欧拉公式知：eiπ＝cos π＋isin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝（－1＋i）·z＝i，∴z＝＝＝＝－i，∴z的虚部为－，故选B. （2）由题知e2i＝cos 2＋isin 2，而cos 2＜0，sin 2＞0，则复数e2i对应的点位于第二象限，故A错误；＝cos＋isin＝i，则为纯虚数，故B正确；＝＝ ＝＋i，则的模为 ＝＝，故C正确；＝cos＋isin＝＋i，其共轭复数为－i，故D错误.故选B、C. 迁移应用 1.B ∵eiθ＝cos θ＋isin θ，∴＝cos（θ＋）＋isin（θ＋）＝＋i，∴ θ＋＝2kπ＋（k∈Z），∴θ＝2kπ＋（k∈Z），故选B. 2.ABC 对于A，当x＝π时，因为eiπ＝cos π＋isin π＝－1，所以eiπ＋1＝0，故选项A正确；对于B，（＋i）2 025＝（cos＋isin）2 025＝（）2 025＝e675πi＝cos 675π＋isin 675π＝－1，故选项B正确；对于C，由eix＝cos x＋isin x，e－ix＝cos（－x）＋isin（－x）＝cos x－isin x，所以eix＋e－ix＝2cos x，得出｜eix＋e－ix｜＝｜2cos x｜≤2，故选项C正确；对于D，由C选项的分析得eix－e－ix＝2isin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故选项D错误.故选A、B、C. 1 / 1(
课件网) 拓 视 野 欧拉公式及应用 欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名 数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角 函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被 誉为“数学中的天桥”. 【例】 （1）欧拉公式ei θ＝ cos θ＋i sin θ把自然对数的底数e、虚数 单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满 足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（ B ） C. 1 D. －1 解析：由欧拉公式知：eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝ （－1＋i）·z＝i，∴z＝ ＝ ＝ ＝ － i，∴z的虚 部为－ ，故选B. B （2）（多选）欧拉公式exi＝ cos x＋i sin x（其中i为虚数单位， x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（ BC ） A. 复数e2i对应的点位于第三象限 BC 解析：由题知e2i＝ cos 2＋i sin 2，而 cos 2＜0， sin 2＞0，则复 数e2i对应的点位于第二象限，故A错误； ＝ cos ＋i sin ＝ i，则 为纯虚数，故B正确； ＝ ＝ ＝ ＋ i，则 的模为 ＝ ＝ ，故C正确； ＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，其共轭复数为 － i，故D错误.故选B、C. 【迁移应用】 1. （2024·济南月考）欧拉公式eiθ＝ c ... ...
