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课件网) 给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在 唯一的实数x,使得a=xe,此时,x称为向量a的坐标. 在数轴上,指定与数轴正方向同向的单位向量e后,如果数轴上一点A对应的数为x(记为A(x), 也称点A的坐标为x),那么向量 对应的坐标为x;反之,这一结论也成立. 知识点 1 直线上向量的坐标 知识 清单破 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 假设直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,即a=x1e,b=x2e,则a=b x1=x2.另外,a+b=(x1+ x2)e. 知识点 2 直线上向量的运算与坐标的关系 1.平面向量的正交分解 (1)平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作 a⊥b. 规定:零向量与任意向量都垂直. (2)如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解 称为向量的正交分解. 2.平面向量的坐标 一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则 称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y). 知识点 3 平面向量的正交分解与坐标表示 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2);a-b=(x1-x2,y1-y2);λa=(λx1,λy1);|a|= ;a∥b x2y1=x1y2. 知识点 4 平面向量的坐标运算 1.两点之间的距离公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则A,B两点之间的距离为AB=| |= . 2.中点坐标公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x,y),则x= ,y= . 知识点 5 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同. ( ) 2.向量的坐标就是向量终点的坐标. ( ) 3.在平面直角坐标系中,两个相等向量的坐标相同. ( ) 4.向量a=(1,2)与b=(-3,-6)共线且同向. ( ) 5.若a=(-3,2),b=(6,y),a∥b,则y=4.( ) 提示 提示 提示 提示 向量的坐标与其始点、终点的具体位置无关,只与其始点、终点的相对位置有关. 只有以坐标原点O为始点的向量的坐标才是其终点的坐标. √ 因为b=(-3,-6)=-3(1,2)=-3a,所以a与b共线且反向. ∵a∥b,∴-3y=12,解得y=-4. 讲解分析 1.向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用向量的坐标运算法则进行求解; (2)若已知向量始点和终点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算. 2.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),判断三点是否共线的方法: 任意写出由这三点构成的两个向量,计算出这两个向量的坐标,再通过向量共线的条件 进行判断. 3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),利用“a∥b x1y2-x2y1=0”可判断向量是否共线,也可以据此来求解向 量共线问题中的参数. 疑难 情境破 疑难 平面向量线性运算的坐标表示及应用 典例 已知a=(1,0),b=(2,1). (1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线 (2)若 =2a+3b, =a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值. 解析 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2), ∵ka-b与a+2b共线, ∴2(k-2)-5×(-1)=0, 即2k-4+5=0, 解得k=- . (2)解法一:∵A,B,C三点共线, ∴设 =λ (λ∈R), 即2a+3b=λ(a+mb), ∴ 解得m= . 解法二: =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m). ∵A,B,C三点共线,∴ ∥ , ∴8m-3(2m+1)=0, 即2m-3=0, 解得m= .6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 基础过关练 题组 直线上向量的坐标及其运算 1.已知e为直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,且a=3e,b=-2e,则a,b的坐标分别为( ) A.3,-2 B.3,2 C.-3,2 D.-3,-2 2.已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-1),则向量的坐标为( ) A.4 B ... ...
