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课件网) §１ 对数的概念 知识点 1 对数的相关概念 知识 清单破 §2 对数的运算 1.对数的概念 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b. 其中a叫作对数的底数,N叫作真数. 2.常用对数与自然对数 (1)当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数,并将log10N简记为lg N; (2)以无理数e=2.718 281…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为ln N. 3.对数的基本性质 (1)零和负数无对数,即真数N>0; (2)1的对数等于零,即loga1=0(a>0,且a≠1); (3)底数的对数等于1,即logaa=1(a>0,且a≠1); (4)对数恒等式: =N(a>0,且a≠1,N>0). 若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则 (1)loga(M·N)=logaM+logaN. 推论:loga(N1·N2·…·Ni·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNi+…+logaNk(Ni>0,i=1,2,…,k). (2)loga =logaM-logaN. (3)logaMb=blogaM. 知识点 2 对数的运算性质 知识点 3 换底公式 1.换底公式:logab= (a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1). 2.推论:lo Nn= logbN,logbN= (N>0,b>0,m≠0,且N≠1,b≠1). 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。 1.根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4. ( ) 2.若10lg x=100,则x=2. ( ) 3.loga(x-y)=logax÷logay(a>0,且a≠1). ( ) 4.loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3)(a>0,且a≠1). ( ) 5.logx2= (x>0,且x≠1). ( ) √ 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 对数恒等式与多重对数方程 1.对数恒等式是利用对数的定义推导出来的,应用时要注意以下结构特点: (1)指数是对数形式; (2)幂的底数与作为指数的对数的底数相同; (3)指数式的值为对数的真数,且大于0. 2.在求解多重对数方程时,要遵循由外向内的原则,层层去掉对数符号,在这一过程中要注意 时刻把握指数式与对数式的互化. 典例 求下列各式中x的值. (1) =25; (2)log2(log5x)=0; (3)log23·log36·log6x=log4(2x+8); (4)lo =x. 解析 (1)∵ =25,∴2x-1=25,∴x=13. (2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1,∴x=51=5. (3)∵log23·log36·log6x= · · =log2x=log4x2=log4(2x+8),∴x2=2x+8,解得x=4(负值舍去). (4)∵lo =x,∴( -1)x= = = = -1,∴x=1. 讲解分析 疑难 2 利用对数的运算性质化简、求值 1.利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再寻找真数间的联系. 2.对于复杂的运算式,可先化简再计算.常用的化简方法:①“拆”———将积(商)的对数拆成两 对数之和(差);②“收”———将同底对数的和(差)收成积(商)的对数. 3.在利用换底公式进行化简求值时,一般情况下要根据题中所给对数式的具体特点选择恰当 的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10或e为底数 进行换底. 典例1 (1)计算: +ln +log35·log259+lg 4+2lg 5= ; (2)a= ,b=log37·log49 ,则lg a2 022-b2 023+1的值为 . 2 024 解析 (1) +ln +log35·log259+lg 4+2lg 5 = +ln e-1+log35· 32+lg 22+2lg 5 = -1+log35·log53+2lg 2+2lg 5 = -1+ · +2(lg 2+lg 5) = -1+1+2= . (2)a= = = = =10, b=log37·log49 = · = · =-1, 所以lg a2 022-b2 023+1=lg 102 022-(-1)2 023+1=2 022-(-1)+1=2 024. 2.当对数的底数不同时,可用换底公式换成同底数对数,为便于发现它们之间的联系,可将真 数都化为质数再进行计算. 方法指导 1.当对数的底数相同时,利用对数的运算性质将式子转化为只含一种或尽量少的 真数的形式,再进行计算. 典例2 已知 = ,log74=b,用a,b表示log4948. 思路点拨 将指数等式化为对数等式,再利用对数的运算性质、换底公式求解. 解析 解法一:∵ = ,∴a=log73. 因此log4948= = = = . 解法二:∵ = ,∴a= . ∵log74=b,∴b= ... ...
