8.3 拓 视 野　探究空间几何体上两点间最短路径问题（课件 学案）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

(课件网) 拓 视 野　探究空间几何体上两点间最短路径问题 计算空间几何体上两点间路径最短问题时，一般转化为平面几何方法 求解，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直” 来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状. 一、旋转体表面上两点间的最短路径问题 【例1】　（1）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧 的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（　B　） A. 2 B. 2 B C. 3 D. 2 解析：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得AC＝2，BC＝ ×16＝4，所以AB＝ ＝2 .所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为2 .故选B. （2）如图，圆锥的母线AB长为2，底面圆的半径为r，若一只蚂蚁从 圆锥的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则其爬行的最短 路线长为 ，则圆锥的底面圆的半径为（　A　） A. 1 B. 2 C. 3 D. A 解析：如图为半圆锥的侧面展开图，连接 BD1，则BD1的长为蚂蚁爬行的最短路线长， 设展开图的扇形的圆心角为α，根据题意得 BD1＝ ，AD1＝1，AB＝2，在△ABD1中， AB2＋A ＝B ，所以∠D1AB＝ ，所以扇 形弧长l＝ ×2＝π，所以圆锥底面圆的周长 为2l＝2π，即2πr＝2π，得r＝1.故选A. 二、多面体表面上两点间的最短问题 【例2】　如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小 虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路 程是 . 3 解析：根据题意，将长方体的长、宽、高所在相邻两个面按照三种不同的方式展开，如图①②③.结合长方体的三种展开图，求得AC1的长分别是3 ， ，2 ，所以最小值是3 .故小虫爬行的最短路程是3 . 【迁移应用】 1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝3，AB＝BC＝1，AC＝ ， E是棱BB1上的一点，则△A1CE的周长的最小值为（　　） A. ＋3 B. ＋2 C. ＋ D. ＋ 解析：　由题意得A1C＝ ＝ ，将三棱柱的侧面BCC1B1展开至平面ABB1A1内，如图所示，当A1，E，C三点共线时，△A1CE的周长最小，此时A1E＋CE＝ ＝ ，即△A1CE的周长的最小值为 ＋ ，故选C. 2. 现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为30 cm，底面半径为10 cm，从 底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到 A点，则所用金色彩线的最短长度为 cm. 30 解析：如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为AA'，因为圆锥形 礼品盒，其母线长l＝30 cm，底面半径为r＝10 cm，设∠ASA'＝ α，所以 ＝2πr＝αl，即α＝ ，所以在等腰三角形ASA'中，取 AA'的中点B，则△ABS为直角三角形，且∠ASB＝60°，AS＝30 cm，所以AB＝AS· sin ∠ASB＝30× ＝15 （cm），所以AA'＝ 2AB＝30 （cm）. 知能演练·扣课标 课后巩固 核心素养落地 1. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 解析：　设球的半径为R，则4πR2＝ πR3，所以R＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 已知圆柱OO'的母线长l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO'的 底面半径r＝（　　） A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 解析：　圆柱OO'的侧面积为2πrl＝8πr（cm2），两底面面积之 和为2×πr2＝2πr2（cm2），所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝ －7（舍去），所以圆柱的底面半径为3 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积 为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 解析：　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由侧面 积S＝π（r＋3r）×3＝84π，解得r＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 若圆锥的母线长是8，底面周长为6π， ... ...